DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0046
46
Alfred Loewy:
genau sa Transmutationen von S ungeändert bleiben, sa =-.
t2 ...
dabei ist t1 t2 ... der Grad des Körpers (P; a1; u2, ..., oz), d. h.
das Produkt der Gradzahlen der irreduziblen Gleichungen der Kette
1 j (a;) — 0, K2 (ic; °i)= 0, ..., ) i (x ; Oj, <?2;, oz_x) = 0, denen die
Größen a1,a2,...,oz genügen. Der Vergleich von — S- mit —
Zi ?2 • • • ta
lehrt zunächst, daß ta = txt2.. . Zz ist. Nach § 1 ist aber die Anzahl der
Transmutationen des Transmutationssystems der Dirigenten ox, o2, ..., az
eines Körpers (P; a1? o2, ..., oz) gleich dem Produkt tx t2 .. .tx der
Grade der Gleichungskette, die durch ox, c>2, .. ., g1 befriedigt wird;
mithin müssen genau ta = t1 t2 ... Transmutationen der Dirigenten
o19 o2, des Körpers (P; or, o2, ..., uz) existieren. Wir haben
oben in
(Äs.P« (aJ)®.Pj T ("jjS.pJ
bereits G Transmutationen der Dirigenten a1; o2, ..., oz des Körpers
(P; o-j, o2, ..., gz) gefunden. Es bleibt also nur noch zu zeigen, daß
die ta Transmutationen sämtlich untereinander verschieden sind.
Wir bilden die Transmutation Pz_1 = £22 • • • 0^ f]ea Körpers
\0i Qz ■ • • Qk J
0ii, 02«, • • •, Qki)) diese führt die Funktionen o1Z = ox (p1Z, g2i, ..., pH),
°2i (0ii, 022, • • •, 0h) • • •, °ii ~ (.Qiii Qzi> • • ’ i Qki) wieder in
°1 = öi (01, 02’ • • •, 0ä), V (01, 02, • • •, 0^), • • -, Gi (01, 02, • • •, 0A-) zurück.
Ist
(01 02 • • • 0* (
k^l (01, 02, • • •’ Qk) Wz (01’ 02, • • ', 07c) ■ ’ • Wk (01’ 02’ • • •, 0Z:)/
eine beliebige Transmutation aus so sind Pf1 und Sa Pz -
/ 01 02 • • • Qk A
\^1 (012, 022, ' • ’, Qki) Wz (012, 02t, • ' '? Qki) • • • Wk (012, 022, ' • •’ Qki))
konsekutive Transmutationen und daher kompositionsfähig (vgl. S. 28).
Man erhält das Produkt Pz_1 Sa P,z:
(012 022 • • • Qki ■ \
(01i, 022’, • • •, Qki) Wz (01Ü 02i, ■ • ’, Qki) • • • Wk (.Qlii 02i, ' ' "> Qki) ) y
dieses ist eine Transmutation der Dirigenten p1Z, p2i, . . ., Qki des Kör-
pers (P; p1Z, p2Z, . . ., und, wie ersichtlich, eine automorphe. Da
die Elemente von eine Gruppe bilden, sind, wie man sich durch
Komposition überzeugt, für die Elemente von Pf-1 &a P^ eben-
falls die vier Gruppenpostulate erfüllt, und Pz_1 Pz ist eine auto-
morphe Untergruppe des Transmutationssystems Pz_1 der Dirigenten
012, 022, • • •, Qki des Körpers (P; p1Z, p2i, . . ., gki). Wendet man auf
das Funktionensystem
Alfred Loewy:
genau sa Transmutationen von S ungeändert bleiben, sa =-.
t2 ...
dabei ist t1 t2 ... der Grad des Körpers (P; a1; u2, ..., oz), d. h.
das Produkt der Gradzahlen der irreduziblen Gleichungen der Kette
1 j (a;) — 0, K2 (ic; °i)= 0, ..., ) i (x ; Oj, <?2;, oz_x) = 0, denen die
Größen a1,a2,...,oz genügen. Der Vergleich von — S- mit —
Zi ?2 • • • ta
lehrt zunächst, daß ta = txt2.. . Zz ist. Nach § 1 ist aber die Anzahl der
Transmutationen des Transmutationssystems der Dirigenten ox, o2, ..., az
eines Körpers (P; a1? o2, ..., oz) gleich dem Produkt tx t2 .. .tx der
Grade der Gleichungskette, die durch ox, c>2, .. ., g1 befriedigt wird;
mithin müssen genau ta = t1 t2 ... Transmutationen der Dirigenten
o19 o2, des Körpers (P; or, o2, ..., uz) existieren. Wir haben
oben in
(Äs.P« (aJ)®.Pj T ("jjS.pJ
bereits G Transmutationen der Dirigenten a1; o2, ..., oz des Körpers
(P; o-j, o2, ..., gz) gefunden. Es bleibt also nur noch zu zeigen, daß
die ta Transmutationen sämtlich untereinander verschieden sind.
Wir bilden die Transmutation Pz_1 = £22 • • • 0^ f]ea Körpers
\0i Qz ■ • • Qk J
0ii, 02«, • • •, Qki)) diese führt die Funktionen o1Z = ox (p1Z, g2i, ..., pH),
°2i (0ii, 022, • • •, 0h) • • •, °ii ~ (.Qiii Qzi> • • ’ i Qki) wieder in
°1 = öi (01, 02’ • • •, 0ä), V (01, 02, • • •, 0^), • • -, Gi (01, 02, • • •, 0A-) zurück.
Ist
(01 02 • • • 0* (
k^l (01, 02, • • •’ Qk) Wz (01’ 02, • • ', 07c) ■ ’ • Wk (01’ 02’ • • •, 0Z:)/
eine beliebige Transmutation aus so sind Pf1 und Sa Pz -
/ 01 02 • • • Qk A
\^1 (012, 022, ' • ’, Qki) Wz (012, 02t, • ' '? Qki) • • • Wk (012, 022, ' • •’ Qki))
konsekutive Transmutationen und daher kompositionsfähig (vgl. S. 28).
Man erhält das Produkt Pz_1 Sa P,z:
(012 022 • • • Qki ■ \
(01i, 022’, • • •, Qki) Wz (01Ü 02i, ■ • ’, Qki) • • • Wk (.Qlii 02i, ' ' "> Qki) ) y
dieses ist eine Transmutation der Dirigenten p1Z, p2i, . . ., Qki des Kör-
pers (P; p1Z, p2Z, . . ., und, wie ersichtlich, eine automorphe. Da
die Elemente von eine Gruppe bilden, sind, wie man sich durch
Komposition überzeugt, für die Elemente von Pf-1 &a P^ eben-
falls die vier Gruppenpostulate erfüllt, und Pz_1 Pz ist eine auto-
morphe Untergruppe des Transmutationssystems Pz_1 der Dirigenten
012, 022, • • •, Qki des Körpers (P; p1Z, p2i, . . ., gki). Wendet man auf
das Funktionensystem