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https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0047
Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 47
<41i OX (01« Qzv, ‘ ' •? Qki), &2i °2 (01« 02« ' • •? Qki), • ’ •?
&li ~ °l (.Q\i, Qzi’ • • « Qki)
die Transmutationen der Gruppe Pf1 an, so bleiben diese
Funktionen hierdurch ihrem Werte nach ungeändert; denn durch Pf1
gehen a1{, a2i, .. in ox, g2, . . ., ol über, bei den Transmutationen
behalten die letzteren Funktionen ihren Wert bei und durch die An-
wendung von P- auf die richtigen Gleichungen ox (px, p2, . . £Ä.)
= °1 (.Ql , 02? " ’ *? 0&)’ °2 (Ql, 02? • • •? Qk) ~ °2 (01? 02? • ’ « 07?)? ’ " '?
°i (0i? 02? • • •? Qk) = °i (01? 02? • • •? Qk) ergibt sich ox (@x, o2l ..., qj) <&a P^
— (01i? 02t? • ' •? 07m)? °2 (01? 02? ‘ • •? Qk) Pi “ °2 (01t? 02« • • •? 07ct)?
.. .. Gi (01, 02? • ■ •? Qk) Pt (01« 02i? • ■ ■? Qki)- Die zuletzt hin-
geschriebenen l Funktionen oXi, o2i, . .. , die bei den Transmuta-
tionen P-1 P^ ungeändert bleiben, genügen der Kette irredu-
zibler Gleichungen
J 1 (F) = 0, 12 (^G °li) = -^3 (% > °li, c*2i) = 0? • • •>
Dj (x, Oxi, O2i, . . <?/—Xi) —- 0,
bei denen das Produkt der Gradzahlen ebenso wie bei
di (x) ■— 0, I2 (tc; ox) 0, (x, 0^, o2) — 0, ..
Yt (x; ot, o2, . . oz_x) = 0 gleich t2 t3 . .. ist. Mithin
bleiben nach dem Satz 4 des § 3 die Funktionen
Gii — G^ (Q]i, 02t? • • •> Qki), c*2i *^2 (01« 02« ’ ' •? Qki), • • «
(Qli> Q2i> • • '? Qki)
genau bei sa -
vielen wie die
= -— -— Transmutationen
ti i2 .. . tf
Gruppe Pf1 ^>a Pi umfaßt.
ungeändert,
also bei so-
Der noch fehlende Nachweis, daß die ta Transmutationen
(fe) S„ P4 fe) P; N So pj C‘ = !’ 2’ ■ • w
sämtlich untereinander verschieden sind, kann jetzt sofort erbracht
werden. Wären zwei der ta Transmutationen gleich, wären etwa, unter i
und j zwei Zahlen aus der Reihe 1, 2, ..., G verstanden,
°1 (01t? 02« • • •? Qki) ~ G1 02« • • •? Qkj), °2 (01« 02t? • ’ •’ Qki)
°2 (Qv> 02J? • * •? Qkj), • • •? (01t? 02« • • •? 0h) — °l (01?? 02?'? • • '? Qkj),
so würde dies bedeuten, daß die l Funktionen oxi, t>2i, . . ., Gti durch
Pi“1 P? — "2l ’" ’ ungeändert bleiben. Dies ist aber unmöglich;
J \0i? 02? ••• 0H7 ö ö
denn auf Grund der GAtoisschen Zerlegung
S Px + S« P2+... + Pta
gehört das Element P7 nicht P; an, also auch P;“1 P? nicht
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die Transmutationen der Gruppe Pf1 an, so bleiben diese
Funktionen hierdurch ihrem Werte nach ungeändert; denn durch Pf1
gehen a1{, a2i, .. in ox, g2, . . ., ol über, bei den Transmutationen
behalten die letzteren Funktionen ihren Wert bei und durch die An-
wendung von P- auf die richtigen Gleichungen ox (px, p2, . . £Ä.)
= °1 (.Ql , 02? " ’ *? 0&)’ °2 (Ql, 02? • • •? Qk) ~ °2 (01? 02? • ’ « 07?)? ’ " '?
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— (01i? 02t? • ' •? 07m)? °2 (01? 02? ‘ • •? Qk) Pi “ °2 (01t? 02« • • •? 07ct)?
.. .. Gi (01, 02? • ■ •? Qk) Pt (01« 02i? • ■ ■? Qki)- Die zuletzt hin-
geschriebenen l Funktionen oXi, o2i, . .. , die bei den Transmuta-
tionen P-1 P^ ungeändert bleiben, genügen der Kette irredu-
zibler Gleichungen
J 1 (F) = 0, 12 (^G °li) = -^3 (% > °li, c*2i) = 0? • • •>
Dj (x, Oxi, O2i, . . <?/—Xi) —- 0,
bei denen das Produkt der Gradzahlen ebenso wie bei
di (x) ■— 0, I2 (tc; ox) 0, (x, 0^, o2) — 0, ..
Yt (x; ot, o2, . . oz_x) = 0 gleich t2 t3 . .. ist. Mithin
bleiben nach dem Satz 4 des § 3 die Funktionen
Gii — G^ (Q]i, 02t? • • •> Qki), c*2i *^2 (01« 02« ’ ' •? Qki), • • «
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genau bei sa -
vielen wie die
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Gruppe Pf1 ^>a Pi umfaßt.
ungeändert,
also bei so-
Der noch fehlende Nachweis, daß die ta Transmutationen
(fe) S„ P4 fe) P; N So pj C‘ = !’ 2’ ■ • w
sämtlich untereinander verschieden sind, kann jetzt sofort erbracht
werden. Wären zwei der ta Transmutationen gleich, wären etwa, unter i
und j zwei Zahlen aus der Reihe 1, 2, ..., G verstanden,
°1 (01t? 02« • • •? Qki) ~ G1 02« • • •? Qkj), °2 (01« 02t? • ’ •’ Qki)
°2 (Qv> 02J? • * •? Qkj), • • •? (01t? 02« • • •? 0h) — °l (01?? 02?'? • • '? Qkj),
so würde dies bedeuten, daß die l Funktionen oxi, t>2i, . . ., Gti durch
Pi“1 P? — "2l ’" ’ ungeändert bleiben. Dies ist aber unmöglich;
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denn auf Grund der GAtoisschen Zerlegung
S Px + S« P2+... + Pta
gehört das Element P7 nicht P; an, also auch P;“1 P? nicht