Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Theorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelschen Gruppen. 9
duzibilität von Px andrerseits kann man durch genügend große Wahl
von l erreichen, daß a) (^4z+1, Px) = (Ai+2, A) = • • • wird und b) für
jede der Gruppen Al+i (i = 1,2 ...) stets ein und dieselbe der beiden
Möglichkeiten Px] = P± bzw. [Al+i, Px] = N erfüllt ist. Ist dann
Obergruppe von A^^ und a ein bei. Element aus A^, so
gilt eine Gleichung a = ß-\-n; ^=0(Jz_|_fc), ?r = 0(Px) und daraus
folgt — für PJ = Pi ohne weiteres, für [Al+i, PJ = 2V aus
a —= 0 Pj]) — die Kongruenz a = 0(^+jfc). Es wird mit-
hin in der bei. Unter- oder Obergruppenkette Av A2, ... sicher Al^.1
= Al_^2 =..A und folglich jede Gruppe mit n-gliedriger Jordan-
scher Kr. ist v. e. A. G.
Satz 2. Sieht man isomorphe Gruppen als nicht ver-
schieden an, so stimmen die Glieder zweier JoRDANscher
Kr. von A bis auf die Reihenfolge überein.
Der Satz gilt für irreduzible Gruppen. Wir zeigen seine Richtigkeit
für Gruppen mit w-gliedriger JoRDANscher Kr. unter der Voraussetzung,
daß er für solche mit n-l-gliedriger zutrifft. Es sei ff = PX~P2".. .'Pn
= QiQz- ■ - Qm Qn 'Pnß Dann ist entweder P1 = oder [Px, ^x] = N.
Im ersten Falle stellen P2P3".. SPn und Q2~QQ- • "Qm zwei JoRDANsche
Kr. von AL[PX dar; es ist m = n, die Gruppen P2, P3, ...Pn stimmen
bis auf die Reihenfolge mit Q2, Q?i, ... Qm überein und wegen der Iden-
tität von Px und Qx gilt das gleiche für die Gruppen Px, P2, ... Pn
und Qv Q2, ... Qm. Ist aber [Pv $x] = N und bedeutet B^BP.. "Pl
eine JoRDANsche Kr. von A|((PX, QQ), so stellt P^PQ'.. ~Pl bzw.
QQPiQ'.. SPl eine solche von A\Q1 -bzw. A\P± dar. Durch zweimalige
Anwendung von Satz 2 auf Gruppen mit n- 1-gliedriger JoRDANscher
Kr. ergibt sich, daß die Gruppen P2, P3, ...Pn und Qx, Pv ...Pt bzw.
Px, Px,... P, und Q2, Q3,... Qm bis auf die Reihenfolge übereinstimmen,
und daraus folgt schließlich die Gültigkeit von Satz 2 für die Jordan-
schen Kr. PfP2k./Pn und Q^Qz”-■ "Qm-
Nach Satz 2 bildet die Gliederanzahl einer JoRDANschen Kr. eine
Invariante von A, die als JoRDANsche Invariante j bezeichnet
werden soll.
Satz 3. Sind A und B beliebige Gruppen und bedeutet
j^jbAd,js die JoRDANsche Invariante von bzw. A, B, [X, P|,
(A,P), so gilt die Gleichung jd +js=ja+jb.
Ist B eine Untergruppe von A und stellt PQ'P^.. .nPj1 bzw.
Qi Qz • • • 02 eiQe JoRDANsche Kr. von B bzw. von A{B dar, so erhält
man in P-J P2 .. "Pji Q± Qz • • "Qj2 eine JoRDANsche Kr. von A, für die
JoRDANsche Invariante j von A gilt daher die Gleichung y=Jx+J2’
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