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https://doi.org/10.11588/diglit.43397#0012
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Wolfgang Krull:
b) Bm ist als v.red. G. Untergruppe von B-J Ferner ist BmBm_x | By
als Restklassengruppe von Bm^ v. red. und folglich Untergruppe von
R1nB2\B1 = B2. Es stellt daher BJB2 eine Obergruppe von BmBm_y
dar usw.
Satz 6. Die Gliederzahl der vorderen und hinteren
LoEWYschen Kr. besitzt denselben Wert l. Sie wird als
LoEWYsche Invariante von A bezeichnet.
Wenden wir den ersten Teil des Hilfssatzes auf i = m—1 an, so
ergibt sich, daß BJB J.. .'Bl_mjrl als Obergruppe von Bm von N
verschieden sein muß; es ist daher Z —m + l>l; l'Pm. Umgekehrt
erhalten wir durch Anwendung des zweiten Teils des Hilfssatzes für
a = Z — 1 die Beziehungen: Rmr'Rm.y,. .nBm_ti2 I A; m — Z-(-2>2;
Satz 7. Es sei B (JB) eine Untergruppe (Restklassen-
gruppe) von A» P\ B.-> ... Bm bz w. A A 2 ... 1tm (A,^ Bm_j ... B-^
bzw. B!'m~B'm'-x"• • B''x) bedeute die vordere (hintere) Loewy-
sche Kr. von A bzw. B (A bzw. Ä). Dann ist m Jm, und es
stellt B'i eine Untergruppe von A.j (A^ eine Restklassen-
gruppe von A^) dar.
a) B\ ist nach Definition Untergruppe von Ar Ferner stellt
A|AX- A|A'X = A7..."A' m' eine Untergruppe von B2B3 \. BBm dar.
Induktionsschluß!
b) Es bedeute B bzw. 1\ bzw. T\ diejenige Untergruppe von A,
für die A\B — B bzw. A\T± = B± bzw. A|= B'v Dann ist T\ -
(T1,B') und folglich Ä\ Restklassengruppe von Bv Weiter stellt
B'mr B'm'_J..riP2= T\\B = TJB eine Restklassengruppe von Tj —
AURm-i"-UÄ2 dar. Induktion! Aus Satz 7 ergibt sich als Korollar:
Eine Untergruppe B (Restklassengruppe A) von A
ist dann und nur dann Untergruppe von BJB2 ../Ai (Rest-
klassengruppe von Bi Bi_J..-"Aj), wenn die LoEWYsche In-
variante von B (B) höchstens gleich i ist.
Ferner sei noch folgende, leicht mit Induktionsschluß beweisbare
Tatsache hervorgehoben:
Ist A = B'JB'J.. .'B'^, wobei sämtliche B\ v.red., so ist
die LoEWYsche Invariante von A höchstens gleich V.
Satz 8. Bedeutet A^ bzw. bzw. die LoEWYsche
Untergruppe bzw. LoEWYsche Restklassengruppe bzw. Haupt-
untergruppe v o n A k (k = 0,1,... n), u n d i s t Ao — ((-Ap A2,... Aw)),
Wolfgang Krull:
b) Bm ist als v.red. G. Untergruppe von B-J Ferner ist BmBm_x | By
als Restklassengruppe von Bm^ v. red. und folglich Untergruppe von
R1nB2\B1 = B2. Es stellt daher BJB2 eine Obergruppe von BmBm_y
dar usw.
Satz 6. Die Gliederzahl der vorderen und hinteren
LoEWYschen Kr. besitzt denselben Wert l. Sie wird als
LoEWYsche Invariante von A bezeichnet.
Wenden wir den ersten Teil des Hilfssatzes auf i = m—1 an, so
ergibt sich, daß BJB J.. .'Bl_mjrl als Obergruppe von Bm von N
verschieden sein muß; es ist daher Z —m + l>l; l'Pm. Umgekehrt
erhalten wir durch Anwendung des zweiten Teils des Hilfssatzes für
a = Z — 1 die Beziehungen: Rmr'Rm.y,. .nBm_ti2 I A; m — Z-(-2>2;
Satz 7. Es sei B (JB) eine Untergruppe (Restklassen-
gruppe) von A» P\ B.-> ... Bm bz w. A A 2 ... 1tm (A,^ Bm_j ... B-^
bzw. B!'m~B'm'-x"• • B''x) bedeute die vordere (hintere) Loewy-
sche Kr. von A bzw. B (A bzw. Ä). Dann ist m Jm, und es
stellt B'i eine Untergruppe von A.j (A^ eine Restklassen-
gruppe von A^) dar.
a) B\ ist nach Definition Untergruppe von Ar Ferner stellt
A|AX- A|A'X = A7..."A' m' eine Untergruppe von B2B3 \. BBm dar.
Induktionsschluß!
b) Es bedeute B bzw. 1\ bzw. T\ diejenige Untergruppe von A,
für die A\B — B bzw. A\T± = B± bzw. A|= B'v Dann ist T\ -
(T1,B') und folglich Ä\ Restklassengruppe von Bv Weiter stellt
B'mr B'm'_J..riP2= T\\B = TJB eine Restklassengruppe von Tj —
AURm-i"-UÄ2 dar. Induktion! Aus Satz 7 ergibt sich als Korollar:
Eine Untergruppe B (Restklassengruppe A) von A
ist dann und nur dann Untergruppe von BJB2 ../Ai (Rest-
klassengruppe von Bi Bi_J..-"Aj), wenn die LoEWYsche In-
variante von B (B) höchstens gleich i ist.
Ferner sei noch folgende, leicht mit Induktionsschluß beweisbare
Tatsache hervorgehoben:
Ist A = B'JB'J.. .'B'^, wobei sämtliche B\ v.red., so ist
die LoEWYsche Invariante von A höchstens gleich V.
Satz 8. Bedeutet A^ bzw. bzw. die LoEWYsche
Untergruppe bzw. LoEWYsche Restklassengruppe bzw. Haupt-
untergruppe v o n A k (k = 0,1,... n), u n d i s t Ao — ((-Ap A2,... Aw)),