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https://doi.org/10.11588/diglit.43397#0014
14
Wolfgang Krull:
voiU;, diejenige von J.,_so sind die irreduzibel, und
es gilt die Gleichung R = (^R1,R2,...Rn)))y)
a) Die Existenz mindestens einer Darstellung der gesuchten Art
zeigt man mit Hilfe der Untergruppen-Kettenvoraussetzung auf Grund
folgender Schluß weise: Gilt keine Gleichung A = (Av A2); At^A,A2^ A,
so ist A=-A die gewünschte Darstellung. Ist ferner A — (Av A2) und
gibt es für jedes Ai eine Darstellung der bewußten Art, so gibt es
auch eine für A.
b) Es sei jetzt die Darstellung A = (AV A2, ...An) gegeben, R und
Ri mögen die im Satz angegebene Bedeutung haben, T bzw. Ti sei die
erste Hauptuntergruppe von A bzw. A^ Dann müssen zunächst sämt-
liche Ri irreduzibel sein, weil aus R{ = ((R?1, Ri2)) eine Gleichung
Ai — (Ti'"Riv Ri2) folgt. Ferner kann kein R^ Restklassengruppe
von T oder in (Rv...Ri_x, Ri-\_i> • . ■Rn') enthalten sein, denn andern-
falls hätte man A = (Alf.. .Ai_t, T, Ai,.. .An), mithin nach dem Hilfs-
satz A = (Av... Ai^, Ai_^v... An). Daraus folgt schließlich: [Aif T]= Tf,
R = A\T = T, H2|T,... An\T) = {A1\T1,A2\T2,...An\Tn) -
-^2» • • •
Definition: Eine Gleichung N= [Av A2,.. .An] heißt kürzeste
Darstellung von N durch relativ größte Untergruppen
von A, wenn kein Ai weggelassen werden kann, oder sich als Durch-
schnitt echter in A enthaltener Obergruppen darstellen läßt.
Hilfssatz. Bei einer v. red. G. A entspricht jeder kür-
zesten Darstellung N=[QV Q2,...Qn] durch relativ größte
Untergruppen von A eindeutig umkehrbar eine direkte
Summend ar Stellung A==([P1,P2,...Pn)) mit irre duzib ein Kom-
ponenten, derart, daß die reziproken Gleichungen Pi —
[Qp C?2> • • • Qi—P Qi-pl» • • • Qn]> Qi~ ((-^p ^2’ ‘ ‘ ’ Pf—1’ Pi-j-V • • • P n)') gelten.
Ist n die JoRDANsche Invariante der v. red. G. A, und bedeutet B
eine Untergruppe von A mit der Jordansehen Invariante mPn— 2,
so gilt eine Gleichung J. = ((!?, Cp C2)); 4 N, C2 4 N, und es stehen
PPC^ und JUC2 zwei der Gleichung [B" Cv B" C2\ = B genügende echte
Obergruppen von B dar. Auf Grund dieser Tatsache beweist man
durch Rechnung die Behauptung des Hilfssatzes, indem man ein-
mal von der Darstellung N= [Q1} Q2,.. .Qn], das andere Mal von
A= ({P1, P2,.. .Pn)) ausgeht, und Pi bzw. mit Hilfe der Formel
Pi=[QL,‘--Qi-i,Qi+i,---Qn] bzw. = be-
rechnet.* 2)
’) Es ist also insbesondere bei jeder Darstellung der bewußten Art die
Komponentenanzahl dieselbe, nämlich gleich der Jordan sehen Invariante von B.
2) Bei der Durchführung der Rechnung ist Satz 3 heranzuziehen, um bei
Wolfgang Krull:
voiU;, diejenige von J.,_so sind die irreduzibel, und
es gilt die Gleichung R = (^R1,R2,...Rn)))y)
a) Die Existenz mindestens einer Darstellung der gesuchten Art
zeigt man mit Hilfe der Untergruppen-Kettenvoraussetzung auf Grund
folgender Schluß weise: Gilt keine Gleichung A = (Av A2); At^A,A2^ A,
so ist A=-A die gewünschte Darstellung. Ist ferner A — (Av A2) und
gibt es für jedes Ai eine Darstellung der bewußten Art, so gibt es
auch eine für A.
b) Es sei jetzt die Darstellung A = (AV A2, ...An) gegeben, R und
Ri mögen die im Satz angegebene Bedeutung haben, T bzw. Ti sei die
erste Hauptuntergruppe von A bzw. A^ Dann müssen zunächst sämt-
liche Ri irreduzibel sein, weil aus R{ = ((R?1, Ri2)) eine Gleichung
Ai — (Ti'"Riv Ri2) folgt. Ferner kann kein R^ Restklassengruppe
von T oder in (Rv...Ri_x, Ri-\_i> • . ■Rn') enthalten sein, denn andern-
falls hätte man A = (Alf.. .Ai_t, T, Ai,.. .An), mithin nach dem Hilfs-
satz A = (Av... Ai^, Ai_^v... An). Daraus folgt schließlich: [Aif T]= Tf,
R = A\T = T, H2|T,... An\T) = {A1\T1,A2\T2,...An\Tn) -
-^2» • • •
Definition: Eine Gleichung N= [Av A2,.. .An] heißt kürzeste
Darstellung von N durch relativ größte Untergruppen
von A, wenn kein Ai weggelassen werden kann, oder sich als Durch-
schnitt echter in A enthaltener Obergruppen darstellen läßt.
Hilfssatz. Bei einer v. red. G. A entspricht jeder kür-
zesten Darstellung N=[QV Q2,...Qn] durch relativ größte
Untergruppen von A eindeutig umkehrbar eine direkte
Summend ar Stellung A==([P1,P2,...Pn)) mit irre duzib ein Kom-
ponenten, derart, daß die reziproken Gleichungen Pi —
[Qp C?2> • • • Qi—P Qi-pl» • • • Qn]> Qi~ ((-^p ^2’ ‘ ‘ ’ Pf—1’ Pi-j-V • • • P n)') gelten.
Ist n die JoRDANsche Invariante der v. red. G. A, und bedeutet B
eine Untergruppe von A mit der Jordansehen Invariante mPn— 2,
so gilt eine Gleichung J. = ((!?, Cp C2)); 4 N, C2 4 N, und es stehen
PPC^ und JUC2 zwei der Gleichung [B" Cv B" C2\ = B genügende echte
Obergruppen von B dar. Auf Grund dieser Tatsache beweist man
durch Rechnung die Behauptung des Hilfssatzes, indem man ein-
mal von der Darstellung N= [Q1} Q2,.. .Qn], das andere Mal von
A= ({P1, P2,.. .Pn)) ausgeht, und Pi bzw. mit Hilfe der Formel
Pi=[QL,‘--Qi-i,Qi+i,---Qn] bzw. = be-
rechnet.* 2)
’) Es ist also insbesondere bei jeder Darstellung der bewußten Art die
Komponentenanzahl dieselbe, nämlich gleich der Jordan sehen Invariante von B.
2) Bei der Durchführung der Rechnung ist Satz 3 heranzuziehen, um bei