Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Theorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelschen Gruppen. 17
sind dann und nur dann isomorph, wenn sie gleiche
Jordansche Invarianten besitzen.
a) Soll a eine irreduzible Gruppe darstellen, und bedeutet a ein
von 0 verschiedenes Element aus a, so muß a — (a) sein und die
Kongruenz a = 0 (q(2)) bestehen, weil andernfalls [a, q<2)] eine von (0)
verschiedene echte Untergruppe von u wäre. Umgekehrt ist ein durch
q<2> teilbares Ideal (a) als Gruppe stets irreduzibel.
b) Aus a), sowie aus der Definition der v. red. G.. ergibt sich die
erste Behauptung des Hilfssatzes.
c) Eine irreduzible Gruppe u = (a) besteht aus der Gesamtheit
aller Elemente der Form £-a, und es ist - a = - a dann und nur
dann, wenn Daraus folgt, daß zwei irreduzible Gruppen
(a) und (ß) durch Zuordnung von (a) und (ß) isomorph aufeinander
bezogen werden. Sind u und b v. red. G. mit der gleichen Jordan-
schen Invariante j, so lassen sich a und b jeweils als direkte Summe
von j irreduziblen Komponenten darstellen, und da diese nach dem
eben Festgestellten sämtlich isomorph sind, so müssen auch u und b
isomorph sein.
Satz 10. Besitzt der Operatorenbereich 91 den charak-
teristischen Exponenten r, so ist jedes durch p teilbare
Ideal u eine v. e. A. G. mit einer LoEWYschen Invariante
Die Loewy s ehe Untergruppe bzw. Hauptunter-
gruppe bzw. iLoe w y sche Restk 1 ass e n gr up p e von a wird
durch [qü+G, a) bzw. p -a bzw. aj(pl- a) dar gestellt.
Der Beweis ergibt sich auf Grund des Hilfssatzes und der De-
finition der in Betracht kommenden Gruppen ohne Schwierigkeit. Im
Spezialfall findet man, daß r—1 die LoEWYsche Invariante, q^+D die
LoEWYsche Untergruppe, pi+1 die Hauptuntergruppe, pip?Kt die
i- LoEWYsche Restklassengruppe von p darstellt.
Wir wollen nun einem bei. durch, p teilbaren Ideale a vier In-
variantenserien vßr'>, hß) zuordnen, indem
wir unter bzw. hfl» die JoRDANsche Invariante des Gliedes
der vorderen bzw. hinteren LoEWYschen Kr. von u verstehen, während
und die entsprechende Bedeutung für die Gruppe p | u besitzen
sollen.1) Ist i größer als die LoEWYsche Invariante von a bzw. pja,
so wird zweckmäßig = hßh = 0 bzw. -w/G — = 0 gesetzt.
0 Die Zahlen sind vom rein idealtheoretischen Standpunkt aus ein-
geführt in Krull: A. II. § 4. Auf die Zahlen 7ii(r) und auf ihre in Satz 11 formulierte
idealtheoretische Bedeutung wies mich E. Noether hin, die mich auch zuerst
auf die Möglichkeit der gruppentheoretischen Behandlungsweise aufmerksam