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https://doi.org/10.11588/diglit.43397#0020
20
Wolfgang Krull:
drisch-isomorph und können als nicht wesentlich verschieden angesehen
werden.
Zu jedem Matrizenkomplex gibt es ein kleinstes ihn enthaltendes
hyperkomplexes Matrizensystem (g>, und die Klassen der zu Di und <5
ähnlichen Komplexe bzw. Systeme verhalten sich hinsichtlich Reduzibilität
und Zerlegbarkeit vollkommen gleich. Man darf sich daher bei Be-
handlung der diesbezüglichen Fragen auf hyperkomplexe Matrizen-
systeme beschränken.
Zu jedem abstrakt gegebenen hyperkomplexen Systeme
endlichen Ranges gibt es mindestens ein isomorphes Ma-
trizensystem mit demselben Grundkörper.1) Es entsteht da-
her folgendes, für die Theorie der hyperkomplexen Systeme grund-
legendes Problem:
Es sind alle Klassen ähnlicher Matrizensysteme zu bestimmen, die
zu einem vorgegebenen hyperkomplexen System <5 von endlichem
Range holoedrisch oder meroedrisch isomorph sind.
Oder kurz: Es sind sämtliche Darstellungen von <5 durch
Matrizensysteme zu ermitteln.
§ 6.
Hyperkomplexe Gruppen von endlichem Rang.
Eine v. A. G. A heißt hyperkomplexe Gruppe (hyp. G.)
vom Range n mit dem Grundkörper wenn 1. der zu A
gehörige Operatorenbereich 33* ein endliches2) System
hyperkomp 1 exer Größen mit dem Grundkörper,® darste 111,
und 2. A hinsichtlich A genau n linear unabhängige Ele-
mente enthält.
Minimalbasis und Basis einer Gruppe werden genau so definiert
wie bei den hyperkomplexen Systemen. Eine hyp. G. vom Range n
ist stets eine v. e. A. G. mit der Jordansehen Invariante
Satz 12: Jeder Klasse isomorpher hyp. G. vom Range n
mit dem Operatorenbereich 33* und dem Grundkörper <®
*) Der übliche Beweis ergibt sich als Spezialfall aus den Untersuchungen
des folgenden Paragraphen. Man braucht nur im Satz 12 als Gruppe und
Operatorenbereich dasselbe System ® zu wählen.
2) D. h. ein System von endlichem Rang. — Die Endlichkeit des Operatoren-
systems braucht übrigens nicht vorausgesetzt zu werden. Sie folgt leicht aus
der Forderung, daß die Gruppe selbst endlichen Rang besitzen soll. — Hingegen
kann nicht umgekehrt von endlichem Rang des Operatorenbereichs auf den end-
lichen Rang der Gruppe geschlossen werden.
Wolfgang Krull:
drisch-isomorph und können als nicht wesentlich verschieden angesehen
werden.
Zu jedem Matrizenkomplex gibt es ein kleinstes ihn enthaltendes
hyperkomplexes Matrizensystem (g>, und die Klassen der zu Di und <5
ähnlichen Komplexe bzw. Systeme verhalten sich hinsichtlich Reduzibilität
und Zerlegbarkeit vollkommen gleich. Man darf sich daher bei Be-
handlung der diesbezüglichen Fragen auf hyperkomplexe Matrizen-
systeme beschränken.
Zu jedem abstrakt gegebenen hyperkomplexen Systeme
endlichen Ranges gibt es mindestens ein isomorphes Ma-
trizensystem mit demselben Grundkörper.1) Es entsteht da-
her folgendes, für die Theorie der hyperkomplexen Systeme grund-
legendes Problem:
Es sind alle Klassen ähnlicher Matrizensysteme zu bestimmen, die
zu einem vorgegebenen hyperkomplexen System <5 von endlichem
Range holoedrisch oder meroedrisch isomorph sind.
Oder kurz: Es sind sämtliche Darstellungen von <5 durch
Matrizensysteme zu ermitteln.
§ 6.
Hyperkomplexe Gruppen von endlichem Rang.
Eine v. A. G. A heißt hyperkomplexe Gruppe (hyp. G.)
vom Range n mit dem Grundkörper wenn 1. der zu A
gehörige Operatorenbereich 33* ein endliches2) System
hyperkomp 1 exer Größen mit dem Grundkörper,® darste 111,
und 2. A hinsichtlich A genau n linear unabhängige Ele-
mente enthält.
Minimalbasis und Basis einer Gruppe werden genau so definiert
wie bei den hyperkomplexen Systemen. Eine hyp. G. vom Range n
ist stets eine v. e. A. G. mit der Jordansehen Invariante
Satz 12: Jeder Klasse isomorpher hyp. G. vom Range n
mit dem Operatorenbereich 33* und dem Grundkörper <®
*) Der übliche Beweis ergibt sich als Spezialfall aus den Untersuchungen
des folgenden Paragraphen. Man braucht nur im Satz 12 als Gruppe und
Operatorenbereich dasselbe System ® zu wählen.
2) D. h. ein System von endlichem Rang. — Die Endlichkeit des Operatoren-
systems braucht übrigens nicht vorausgesetzt zu werden. Sie folgt leicht aus
der Forderung, daß die Gruppe selbst endlichen Rang besitzen soll. — Hingegen
kann nicht umgekehrt von endlichem Rang des Operatorenbereichs auf den end-
lichen Rang der Gruppe geschlossen werden.