Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Theorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelschen Gruppen. 25
in Satz 15 aufgefundene direkte Summenzerlegung kann daher auch
als „Zerlegung von A in unzerlegbare zyklische Summanden“ bezeichnet
werden.
Satz 18. Eine E. T. G. ist durch die Glieder ihrer vor-
deren oder hinteren LoEWYSchen Kr. eindeutig bestimmt.
a) Aus den Sätzen 8, 15, 17 folgt, daß die Glieder und R;
der vorderen und hinteren Loewy sehen Kr. jeweils isomorph sind, der
Beweis braucht daher nur etwa für die vordere Loewy sehe Kr. ge-
führt werden.
ß') Das Zahlensystem s2 ^... V > 0 heißt zum System
0 assoziiert, wenn die Anzahl derjenigen rm an-
gibt, die ]>i sind.1)
AVie sofort nachzurechnen, ist der Begriff des Assoziiertseins
wechselseitig, und von zwei assoziierten Systemen bestimmt eines das
andere bis auf die unwesentlichen Glieder, die gleich 0 sind, eindeutig.
y) Es sei </(«) irgendein irreduzibles Polynom, und > r2 >... rm
seien so gewählt, daß g(x)ri (i = 1,2 ... n) gerade die durch g(x") teil-
baren Polynominvarianten von A sind. Bedeutet dann weiter si die
Vielfachheit, mit der g (x") unter den Polynominvarianten von P,^ auf-
tritt, so ist, wie mit Hilfe der Sätze 8, 15, 17 nachgerechnet werden
kann, sx j> s2 )>... sz 0, und es ist das System der zu dem System
der ri assoziiert.
<5) Aus y) und ß} folgt, daß die Polynominvarianten der P^ die
Polynominvarianten von A und mithin A selbst eindeutig bestimmen.
§8.
Elementarteilertheorie der Matrizen.
Die matrizentheoretische Anwendung der über E.T.G. gewonnenen
Sätze führt zur Klassifikation derjenigen hyperkomplexen Matrizen-
systeme, die zum Polynombereich 5p einer Variabein x meroedrisch
isomorph sind. Ordnet man jedem solchen System S diejenige Ma-
trix A zu, die bei dem zwischen <5 und 5p bestehenden Isomorphis-
mus dem Elemente x entspricht, so wird jede Systemklasse umkehrbar
eindeutig auf eine Klasse ähnlicher Matrizen abgebildet. Die Theorie
dieser Matrizensysteme ist daher mit der Ahnlichkeitstheorie der
Einzelmatrizen äquivalent, und die letztere soll hier entwickelt werden,
Der Begriff der assoziierten Zahlensysteme ist eingeführt von J. Schur
in seiner Dissertation: Über eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen
Matrix zuordnen lassen. Berlin 1901 p. 41.