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https://doi.org/10.11588/diglit.43397#0027
Theorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelsclien Gruppen. 27
Beweis klar nach Satz 15, 16, 19. Man kann die in der Normal-
form von Satz 20 auftretenden als die „unzerlegbaren Begleit-
matrizen der Klasse“ bezeichnen, und hat dann das Ähnlichkeits-
kriterium :
Zwei Klassen sind dann und nur dann identisch, wenn
sie in ihren unzerlegbaren Begleitmatrizen übereinstimmen.
Um weitere Matrizennormalformen zu gewinnen, kann man wieder
die Theorie der E. T. G. benutzen. Es läßt sich z. B. zu jeder E. T. G.
eine im wesentlichen eindeutig bestimmte Zerlegung A = ((Zp Z2,.. .Zfc))
finden, bei der die Zi zwar im allgemeinen nicht unzerlegbar, aber durch
möglichst großen Rang ausgezeichnet sind. Dieser Darstellung von A
entspricht eine Matrizennormalform
bei der die die
größten aufeinander folgenden Begleitmatrizen der Klasse genannt
werden.1)
Ferner können die unzerlegbaren Begleitmatrizen durch eine andere
Normalform ersetzt werden, die der in Satz 17 charakterisierten Jordan-
schen Kr. der zugehörigen zyklischen Gruppe entspricht, und im Falle
eines algebraisch abgeschlossenen Grundkörpers $ zur sogenannten
JoRDANschen Normalform führt.2) Wir begnügen uns hier mit dem
Hinweis auf diese Fragestellungen, und heben nur den aus Satz 18
folgenden Matrizensatz hervor:
Satz 21. Zwei Matrizen sind dann und nur dann ähn-
lich, wenn sie in ihren größten aufeinanderfolgenden
vorderen oder hinteren v. red. Bestandteilen überein-
stimmen.3)
1) Zur ausführlichen Definition der größten aufeinander folgenden Begleit-
matrizen vgl. meine autographierte Dissertation: Über Begleitmatrizen und
Elementarteilertheorie (Freiburg 1922, in Zukunft kurz mit D. zitiert) § 1.
2) Die angegebenen Normalformen sind mit den Hilfsmitteln der Matrizen-
rechnung ausführlich untersucht in D. § 2.
3) Zur Definition der größten aufeinanderfolgenden vorderen und hinteren
v. red. Bestandteile eines Matrizenkomplexes vgl. L. I. § 6 p. 29 sowie L. II
§1 p. 344. Vgl. ferner: Joseph Wirth, Über die Elementarteiler einer
linearen homogenen Substitution (Inauguraldissertation, Freiburg 1906).
Dort ist (unter Benutzung der Ausdrucksweise der Theorie der Matrizen bzw.
der der linearen homogenen Substitutionen) der Zusammenhang behandelt, da-
zwischen den Polynominvarianten einer Gruppe und den Polynominvarianten der
Glieder ihrer vorderen und hinteren LonwYSchen Kr. besteht, also der Zusammen-
hang, den wir beim Beweise von Satz 18 unter y) darlegten. Die WiRTHsche Disser-
tation enthält m. E. insofern eine Beweislücke, als auf p'. 9 nicht absolut scharf
Beweis klar nach Satz 15, 16, 19. Man kann die in der Normal-
form von Satz 20 auftretenden als die „unzerlegbaren Begleit-
matrizen der Klasse“ bezeichnen, und hat dann das Ähnlichkeits-
kriterium :
Zwei Klassen sind dann und nur dann identisch, wenn
sie in ihren unzerlegbaren Begleitmatrizen übereinstimmen.
Um weitere Matrizennormalformen zu gewinnen, kann man wieder
die Theorie der E. T. G. benutzen. Es läßt sich z. B. zu jeder E. T. G.
eine im wesentlichen eindeutig bestimmte Zerlegung A = ((Zp Z2,.. .Zfc))
finden, bei der die Zi zwar im allgemeinen nicht unzerlegbar, aber durch
möglichst großen Rang ausgezeichnet sind. Dieser Darstellung von A
entspricht eine Matrizennormalform
bei der die die
größten aufeinander folgenden Begleitmatrizen der Klasse genannt
werden.1)
Ferner können die unzerlegbaren Begleitmatrizen durch eine andere
Normalform ersetzt werden, die der in Satz 17 charakterisierten Jordan-
schen Kr. der zugehörigen zyklischen Gruppe entspricht, und im Falle
eines algebraisch abgeschlossenen Grundkörpers $ zur sogenannten
JoRDANschen Normalform führt.2) Wir begnügen uns hier mit dem
Hinweis auf diese Fragestellungen, und heben nur den aus Satz 18
folgenden Matrizensatz hervor:
Satz 21. Zwei Matrizen sind dann und nur dann ähn-
lich, wenn sie in ihren größten aufeinanderfolgenden
vorderen oder hinteren v. red. Bestandteilen überein-
stimmen.3)
1) Zur ausführlichen Definition der größten aufeinander folgenden Begleit-
matrizen vgl. meine autographierte Dissertation: Über Begleitmatrizen und
Elementarteilertheorie (Freiburg 1922, in Zukunft kurz mit D. zitiert) § 1.
2) Die angegebenen Normalformen sind mit den Hilfsmitteln der Matrizen-
rechnung ausführlich untersucht in D. § 2.
3) Zur Definition der größten aufeinanderfolgenden vorderen und hinteren
v. red. Bestandteile eines Matrizenkomplexes vgl. L. I. § 6 p. 29 sowie L. II
§1 p. 344. Vgl. ferner: Joseph Wirth, Über die Elementarteiler einer
linearen homogenen Substitution (Inauguraldissertation, Freiburg 1906).
Dort ist (unter Benutzung der Ausdrucksweise der Theorie der Matrizen bzw.
der der linearen homogenen Substitutionen) der Zusammenhang behandelt, da-
zwischen den Polynominvarianten einer Gruppe und den Polynominvarianten der
Glieder ihrer vorderen und hinteren LonwYSchen Kr. besteht, also der Zusammen-
hang, den wir beim Beweise von Satz 18 unter y) darlegten. Die WiRTHsche Disser-
tation enthält m. E. insofern eine Beweislücke, als auf p'. 9 nicht absolut scharf