DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43399#0006
6
Max Müller:
7
o,
(B)
zuläßt, in die schon 1776 von Meusnier angegebene bekannte Be-
ziehung
Veg-f2
Qy'u — Fy\
I, D(»
X U X v | v '
dxj J dy2
übergeht.1) Aus (C) ergibt sich noch sofort die von den Richtungs-
cosinus der Flächennornialen freie Formel
4 H2 = (A rr)2 + (A y)2+(A #)2.
Aus den Gleichungen (C) folgt wegen (6) und (9), daß
y'u y'v I
8 U 3 »
. VEG — F2 J
Ez'v— Fz’u\
. Veg-f2 ''
d0\2”| d2# dz d2z
dy) J Sa;2 dx dy dxdy
00 u 00 v
y u y v
und hieraus die Identität der Integranden in den Doppelintegralen der
Formeln (A) und (B). Die Formel (B) kann in wenigen Zeilen ge-
wonnen werden; ihre Überführung in die Form (A) erfordert allerdings
dann etwas mehr Rechnung; trotzdem dürfte der hiermit gelieferte
zweite Beweis von (A) noch einfacher sein als der auf Gauss und
Herrn Blaschke zurückgehende erste Beweis.
In § 5 werden die Ergebnisse auf Mini ra alfl ächen angewendet.
Das Flächenstück' (1) ist ein Minimalflächenstück, wenn
_nz x d f G x'u—F x'v\ , d (Ex'v — F x'u
VEG-F2
Ey'
Veg-f2 >
Gs'u — Fz'v'
Veg-f2 >
also, *wie wir jetzt aus den Gleichungen (C) ohne weiteres schließen
können, wenn H=0 ist. Dann fallen in den Formeln (A), (B) und (B')
die Doppelintegrale weg; (A) geht über in die bekannte Schwarz sehe
Formel für die Oberfläche eines Minimalflächenstückes3),
x) Vgl. etwa V. und K. Kommerell, Allgemeine Theorie der Raumkurven
und Flächen, Bd. I (2. Auflage, Leipzig, G. J. Göschen, 1909) Seite 116 und der-
selben Verfasser Spezielle Flächen und Theorie der Strahlensysteme (Leipzig,
G. J. Göschen, 1911) Seite 12.
2) Vgl. etwa 0. Bolza, Vorlesungen über Variationsrechnung (Leipzig und
Berlin, B. G. Teubner, 1909), Seite 667.
3) H. A. Schwarz, Gesammelte mathematische Abhandlungen, Bd. I (Berlin,
J. Springer, 1890), Seite 178. Vgl. W. Blaschke, a. a. O., §§ 93, 94. Schwarz
benützt bei der Herleitung die Weierstrasz sehe Darstellung für Minimalfiächen,
also isotherme Parameter, Herr Blaschke setzt voraus, daß die Parameterkurven
Max Müller:
7
o,
(B)
zuläßt, in die schon 1776 von Meusnier angegebene bekannte Be-
ziehung
Veg-f2
Qy'u — Fy\
I, D(»
X U X v | v '
dxj J dy2
übergeht.1) Aus (C) ergibt sich noch sofort die von den Richtungs-
cosinus der Flächennornialen freie Formel
4 H2 = (A rr)2 + (A y)2+(A #)2.
Aus den Gleichungen (C) folgt wegen (6) und (9), daß
y'u y'v I
8 U 3 »
. VEG — F2 J
Ez'v— Fz’u\
. Veg-f2 ''
d0\2”| d2# dz d2z
dy) J Sa;2 dx dy dxdy
00 u 00 v
y u y v
und hieraus die Identität der Integranden in den Doppelintegralen der
Formeln (A) und (B). Die Formel (B) kann in wenigen Zeilen ge-
wonnen werden; ihre Überführung in die Form (A) erfordert allerdings
dann etwas mehr Rechnung; trotzdem dürfte der hiermit gelieferte
zweite Beweis von (A) noch einfacher sein als der auf Gauss und
Herrn Blaschke zurückgehende erste Beweis.
In § 5 werden die Ergebnisse auf Mini ra alfl ächen angewendet.
Das Flächenstück' (1) ist ein Minimalflächenstück, wenn
_nz x d f G x'u—F x'v\ , d (Ex'v — F x'u
VEG-F2
Ey'
Veg-f2 >
Gs'u — Fz'v'
Veg-f2 >
also, *wie wir jetzt aus den Gleichungen (C) ohne weiteres schließen
können, wenn H=0 ist. Dann fallen in den Formeln (A), (B) und (B')
die Doppelintegrale weg; (A) geht über in die bekannte Schwarz sehe
Formel für die Oberfläche eines Minimalflächenstückes3),
x) Vgl. etwa V. und K. Kommerell, Allgemeine Theorie der Raumkurven
und Flächen, Bd. I (2. Auflage, Leipzig, G. J. Göschen, 1909) Seite 116 und der-
selben Verfasser Spezielle Flächen und Theorie der Strahlensysteme (Leipzig,
G. J. Göschen, 1911) Seite 12.
2) Vgl. etwa 0. Bolza, Vorlesungen über Variationsrechnung (Leipzig und
Berlin, B. G. Teubner, 1909), Seite 667.
3) H. A. Schwarz, Gesammelte mathematische Abhandlungen, Bd. I (Berlin,
J. Springer, 1890), Seite 178. Vgl. W. Blaschke, a. a. O., §§ 93, 94. Schwarz
benützt bei der Herleitung die Weierstrasz sehe Darstellung für Minimalfiächen,
also isotherme Parameter, Herr Blaschke setzt voraus, daß die Parameterkurven