Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Max Müller:

$ llU V

y'u^'

und

x'.

v

dudv,

zr

p dg2 du F d%2 dv|
2 | du ds dv ds 1 du ds dv ds J
„ r dv .du . , du , dv
^wds~F^ v7Ts~F^u~ds~F^ vds
. , ,, , 7-, , x dU,l
ds+* x u~Ex ,) ^-J
+ y [(<? y'u -Fy'v)d£ + (Fy'u -Ey',}
ist. Man bestätigt nun leicht durch direktes Ausrechnen, daß

. du , , dv
]F0vds.

, du , , dv
X’X'‘ls + x’ds’y
. du , . dv ,
y,tJ '‘ds + y ’ds’S'
, du , , dv .
Zu~dsF^ vds'X

der Fall
die Koeffizienten von x in beiden Ausdrücken übereinstimmen, d. h. daß
[y u ds+y v dgj (e uy v y u% v) v d$
(Gr x u -F x r) A (Fx u Ex j
vertauscht man in dieser Gleichung x, y und z zyklisch, so entstehen
zwei weitere Gleichungen, die die Übereinstimmung der Koeffizienten
von y und 3 zum Ausdruck bringen. Damit ist der gewünschte Beweis
geliefert.
2. Nehmen wir für einen Augenblick an, die Parameterkurven
seien Krümmungslinien. Dann gelten die Formeln (A) und (B)
gleichzeitig; die linken Seiten sind einander gleich, ebenso die Rand-
integrale, wie soeben bewiesen wurde; also müssen auch die Doppel-
integrale übereinstimmen:
(x) + y D (y) + z D (#)] drt dv
=ff
(S5) (S5)
dies muß auch für jeden beliebig kleinen Teilbereich 3F von Sfi gelten.
Ist (u0, v0) eine beliebige Stelle in Sfi, so kann man zwei positive Zahlen
h und 7v derart finden, daß auch der durch die Ungleichungen
u0^u^ u0 -\~K ü0 A ü < r0 + 7v