Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Max Müllee

Dies sind gerade die Gleichungen (C). Wir wollen sie jetzt für den
Fall eines b e 1 i e b i g e n Systems von Parameterkurven beweisen. Dies
soll durch direkte Rechnung geschehen; im Gegensatz zu der soeben
durchgeführten nur der Orientierung dienenden Betrachtung ergibt sich
dabei ein zweiter Be^veis der Formel (A), der auf die Formel (B)
aufbaut. Dabei braucht aber nur die erste der drei Gleichungen be-
wiesen zu werden; denn weiß man, daß auch bei Verwendung eines
ganz beliebigen Parametersystems

D (x) = 2H (x, y, z)

y'u y'v
Z'u Z'v

ist, so liefert eine Vertauschung von y und x die zweite und eine Ver-
tauschung von z und x die dritte der zu beweisenden Gleichungen (C).
Führt man die Differentiationen aus, so wird
= A f G x'u — Fx'0\ 9 — Fx'u\
U du k /F’G-F2 J 'r dv \ VECT-pi J

= (FG-F2^ ~ G X"uu + Fx"vv ~ 2 FX' 'uv
+ x',0(Fx'v — Fx'u') + x'u(&x'u —Fx'v)\ [(Fx'„-Fx'u)
x (FG'„- GF'V - 2 FF'V) + (Gx'u- Fx'J (FG'U + GF« - 2 FF'M)]1
ocler weil
F v - F W — J w J uv - £ Z) J WW 5 G ,u F v — J VX UV J J VV,
EG'v+GE'v-2FF'v = 2F^'v^"vv)+2G^'utc"uv)-2F(tc'u^"vv-\-^v^"uv),
EG u-\-GF u—2FF u=t2Efy «t>)_r2G(j «j ««)—2F(j/«J w«-r£ uu&v),

D(x) -

-J1FG — F2] \Gx"uu + Fx"vv — 2Fx"uv
(FG-F^V JL

+ (jk li"uv

J V $ uu ) “T x'u (? V J UV

i’ u £ vv.

+ (F x'u — E x'v) yE jk w V G u J tw —F(juj vv + j v £ w©)J
+ (FX v — G x'u) rFt'v J 'uv 4" G ic'u J 'uu (j U ^"uv d- 1’ » J uu)^} p

Die rechte Seite der zu beweisenden Gleichung ist

2H

y’u y’v\
Fu Fv\

_1
(FG-F2)'

F x ' vv — 2 F x uV F G x uui ui v
Fy"w — 2 Fy uv V G y uu, y w y v
F z"vv — F z"uv + G z"uu, Z u, 2 u

y u y v
Z u Z v