Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Oberfläche von Flächenstücken.

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Von dem gemeinsamen Faktor (EG — F2) ** sehen wir von vornherein
ab und haben dann die Identität der Ausdrücke

(17) [-Etz— F12] [G x" uu ~ 2 Fx"uv 4~ Ex"m + v (? u i w» uw)

(j v £ wv d- J ? w)]

d~ (Fx'u —-Ex r) (Ex vx wF G^ uv

F(j M £ VV d“ £ V £ uv))

d" (F X v — G X u) (E X i> J uv d~ G J M X uw «J uv _d 1’ t> 1' uu))

und
(18)

jE X vv 2 F X uv -j- G X uu> X U) X v
Ey vv 2 F y uv G y MW, y u> y v
E Z m 2 F Z uv -j~ br Z UU) X U) X v

y'u y'v
Fu Fv

nachzuweisen. Wir fassen sie auf als homogene lineare Ausdrücke in
den neun Ableitungen zweiter Ordnung von x, y, z und vergleichen
deren Koeffizienten.

In (17) hat x"Uu den Koeffizienten
(EG — F2) (G — x'v x',.) + (Fx'v — Gx'u) (Gx'u— Fx'v)
= G (EG — F2 — x’2EE 2 F x'u x'v — Gx\2)
oder nach gehöriger Vereinfachung
X u Z t> Z u Z v
d. h. denselben Koeffizienten wie in (18).
In (17) hat x"uv den Koeffizienten
(EG — F2) (— 2 F-\-x'u x'v + x'u x'v)-[-(G x'u — Fx'v) (Fx'u — Ex'
—(E x v Fx u) (F x v ' G x u)
oder nach leichter Reduktion

- 2 F (EG - F2 - x'v2 E'+2Fxux'v-G x\2),

also mit Verwendung der schon bei x"uu durchgeführten Vereinfachung
den Koeffizienten

-2F

y u y v

Zu X v

y u y v
X u ,X v

d. h. denselben Koeffizienten wie in (18).

Für den Faktor von x"vv in (17) findet sich analog:

(EG - F2) (E- x'u2) + (Ex'v - Fx'u) (Fx'u -Ex'v)
= E(EG-F2- x’2 EF 2 Fx'u x'v - x'u2 G)

= E

y u y v
Xu X v

y u y v
Xu X v

d. h. dasselbe wie in (18).