Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über geodätische Dreiecksnetze auf Flächen konstanten Krümmungsmaßes. 21

oder:
2A;
(x — ;r0) sin (<m+/?) — (?/ —y0) cos (aw-}-/?) = —
(53) ' “
(x - a?0)sin(av) — (y —?/0)cos(a-w) ==—Ü
Die Kurven u = const. und v = const. sind also Tangenten des Kreises:
4 k%
(x-xoy + (y-yo)2=-^.
Die Kurven u-\-v = const. sind die durch den Mittelpunkt dieses
Kreises gehenden Geraden:
(x — #0)(sin (aw + /5) — sin (aw)) — (y — j/0)(cos (au-^-ß) — cos (<w)) = 0
oder:
(x - x^ cos F-+ («/ - «/o) sm s- 2y T = 0.
Wir erhalten also den Satz:
Drei Scharen von Geraden in der Ebene bilden ein
rhombisches Dreiecksnetz, wenn eine Schar ein Büschel
bildet, während die beiden andern Scharen Tangenten
eines Kreises um den Büschelmittelpunkt sind oder wenn
sie drei verschiedene Büschel bilden.
2. Die Kugel.
Sind a, ß, y, 2, y, v die Winkel der Tangenten der Kurven
u — const. bzw. v = konst. mit den Koordinatenachsen, so ist1j:
U3 + F3 cos ?? U2 + F2 cos fr TL V-, cos ??
cos et = - 3-----, cos 6'=-2-F-F-, cosy^-1 . 1——
sm fr sm fr’ sin ??
. V3+U3cosfr K2+U2cos# E.-kEhcos^
sm?? sm fr sin??
wo üv U2, U3, F15 F2, F3 Funktionen nur von u bzw. nur von v- sind,
die der Bedingung genügen müssen:
^+^+^=1, 712 + f22+732=1i
Es wird daher:
cos ’d' = cos a cos 2 + cos ß cos y + cos y cos v
2 cos Fx + U2 V2 + F3 F3) (1 + cos2 ??)
sin2??
und daher:
(54) cos ?? = - (U3 + U2 V2 + Us F3).

J) Vgl. H. B. S. 10.