Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Heinrich Kapferer:

Dieser Satz (19) bekommt aber erst seine wahre Bedeutung in
Verbindung mit einer weiteren Tatsache. Wenn nämlich t groß genug
ist, d. h., wenn das System (8) genügend weit fortgesetzt wird, so wird
einmal q1<£ + 1)=l gesetzt werden können, so daß also die letzte Be-
dingung des Satzes (9) als trivial in Fortfall kommt. Diese Tatsache
gründet sich auf folgenden noch zu beweisenden Satz:
Es existiert eine natürliche Zahl t, so daß von den
durch (8) definierten Polynomen A2, ... zwar A2, ...
im Punkte x= o, y — o versehwinden, aber ht nicht
mehr verschwindet, also ht (o, o) o ist.

(20)

Falls dieser Satz (20) richtig ist, wird tatsächlich qx(£+1> = 1,
weil definitionsgemäß qx(t+1) = (/)+ 1, gt + 1, = (ht, 9t, Pi*)-

Dann geht der Satz (19) über in den folgenden Hauptsatz:

(21)

Notwendig und hinreichend für K~o (pp, tp, p°), wo
h = (x, y) und o eine beliebige, einen gewissen Mini-
malwert überschreitende natürliche Zahl ist. ist die
Erfüllung der t Ungleichungen
(^)äfe); •••

Dabei bedeutet t die durch Satz (20) eindeutig bestimmte
Zahl; gv g2, . . gt bedeuten die durch System (8) definierten
Polynome; Klf K2, .. Kt die durch System (11) definierten
Polynome.
Es bleibt also nur der Satz (20) zu beweisen. Dazu berufen wir
uns auf die vorhergehende Abhandlung („Axiomatische Begründung
des Bezout sehen Satzes“), nämlich auf die dort in § 11 erklärte Mui-
tiplizitätsrelation = &

und benützen hier und im folgenden das Symbol (A, B) als
Abkürzung1) für Multiplizität einer gemeinsamen Nullstelle
von A und B. Obige Formel, mehrmals auf unser Gleichungssystem

(8) angewandt,

(22)

(/p 9i) = (%, 9i) + (A, 9z)
(f2’ 9z) ~ (x, 9z) H- (/":3’ 9s)

9t) — (x, 9t) + (ft +1,9t +1)

und daher
(23) (4, gf) = (x, gx) + (x, g2) +... >+(x, gt) + (ft+1,gt + i).

9 Man störe sich nicht daran, daß hier und im folgenden das Symbol (A, B)
sowohl Multiplizität als auch Modul mit der Basis A, B bedeuten kann.