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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0080
80
Heinrich Kapferer :
(40)
Wenn A und B irgend zwei teilerfremde Polynome in x, y
sind, P eine gemeinsame Nullstelle, die einfacher Punkt
von B ist, aber als Schnittpunkt //fach zählt, so hat (not-
wendig und hinreichend!) eben dieser Punkt P in dem Kurven-
paar Ä' — 0, B = 0, wo
A, SA SB SB SA
Sx Sy Sx Sy
ist, als Schnittpunktmultiplizität die Zahl y — 1.
Die fortgesetzte Anwendung dieses Satzes (40) bietet, wie unmittel-
bar ersichtlich, ein Mittel, um (A, B) genau auszuwerten, insbesondere
also auch, um festzustellen, ob die Bedingung (W, y) > (cp, ■yi) des Satzes
(39) erfüllt ist oder nicht.
Im Gegensatz zum Hauptsatz (21) läßt sich der Satz (39) un-
verändert auf homogene Polynome in x, y, z übertragen. Man beachte
nur den allgemeinen Satz (29). Die Vorbedingung desselben ist das
Fehlen eines gemeinsamen Punktes x : y : z = a : ß : o im Polynompaar
(p(xyz), ip(xyz). Diese Bedingung ist immer durch eine lineare Trans-
formation (32) erfüllbar. Nun ist aber das Kriterium des Satzes (39)
ein solches, das unabhängig von einer linearen umkehrbaren Trans-
formation ist, der man simultan K, cp, ip unterwirft, weil die Schnitt-
punktmultiplizität eine Größe ist, die invariant ist gegenüber solchen
Transformationen. (Vgl. § 7 der vorhergehenden Abhandlung.) Also
gilt der Satz:
Satz (39) bleibt richtig, wenn man unter cp, y>, K
homogene Polynome in x, y, z versteht.1)
Zusatz:
Die Prüfung, ob die Multiplizitätsbedingung des Satzes (39)
erfüllt ist oder nicht, kann ohne Resultante und ohne vorherige
Transformation und auch ohne Formel (24) rein algebraisch
durch ein Differentationsverfahren ausgeführt werden.
9 Die Frage nach den Bedingungen für das Bestehen einer homogenen
(ternären) Kongruenz K(xyz) — o {cp, tp) ist, allerdings unter stark spezialisierten
Voraussetzungen, auch die Kernfrage einer Note von A. Ostrowski, „Uber die
MixwELLsche Erzeugung der Kugelfunktion“. Jahresb. der D.M.V.
33. Bd. 1925 (Miszellen). In dieser Abhandlung wird angenommen: cp zerfällt
in lauter Linearfaktoren; cp und K sind gleicher Ordnung; ip = x2 -\-y2 + z2.
Da hier also ip vollkommen singularitätenfrei, so ist a fortiori die Voraussetzung
unseres Satzes (39) erfüllt. Der Hauptsatz der OsTRowsKischen Note kann also
als Spezialfall unseres Satzes (39) bzw. (41) angesehen werden.
(41) |
Heinrich Kapferer :
(40)
Wenn A und B irgend zwei teilerfremde Polynome in x, y
sind, P eine gemeinsame Nullstelle, die einfacher Punkt
von B ist, aber als Schnittpunkt //fach zählt, so hat (not-
wendig und hinreichend!) eben dieser Punkt P in dem Kurven-
paar Ä' — 0, B = 0, wo
A, SA SB SB SA
Sx Sy Sx Sy
ist, als Schnittpunktmultiplizität die Zahl y — 1.
Die fortgesetzte Anwendung dieses Satzes (40) bietet, wie unmittel-
bar ersichtlich, ein Mittel, um (A, B) genau auszuwerten, insbesondere
also auch, um festzustellen, ob die Bedingung (W, y) > (cp, ■yi) des Satzes
(39) erfüllt ist oder nicht.
Im Gegensatz zum Hauptsatz (21) läßt sich der Satz (39) un-
verändert auf homogene Polynome in x, y, z übertragen. Man beachte
nur den allgemeinen Satz (29). Die Vorbedingung desselben ist das
Fehlen eines gemeinsamen Punktes x : y : z = a : ß : o im Polynompaar
(p(xyz), ip(xyz). Diese Bedingung ist immer durch eine lineare Trans-
formation (32) erfüllbar. Nun ist aber das Kriterium des Satzes (39)
ein solches, das unabhängig von einer linearen umkehrbaren Trans-
formation ist, der man simultan K, cp, ip unterwirft, weil die Schnitt-
punktmultiplizität eine Größe ist, die invariant ist gegenüber solchen
Transformationen. (Vgl. § 7 der vorhergehenden Abhandlung.) Also
gilt der Satz:
Satz (39) bleibt richtig, wenn man unter cp, y>, K
homogene Polynome in x, y, z versteht.1)
Zusatz:
Die Prüfung, ob die Multiplizitätsbedingung des Satzes (39)
erfüllt ist oder nicht, kann ohne Resultante und ohne vorherige
Transformation und auch ohne Formel (24) rein algebraisch
durch ein Differentationsverfahren ausgeführt werden.
9 Die Frage nach den Bedingungen für das Bestehen einer homogenen
(ternären) Kongruenz K(xyz) — o {cp, tp) ist, allerdings unter stark spezialisierten
Voraussetzungen, auch die Kernfrage einer Note von A. Ostrowski, „Uber die
MixwELLsche Erzeugung der Kugelfunktion“. Jahresb. der D.M.V.
33. Bd. 1925 (Miszellen). In dieser Abhandlung wird angenommen: cp zerfällt
in lauter Linearfaktoren; cp und K sind gleicher Ordnung; ip = x2 -\-y2 + z2.
Da hier also ip vollkommen singularitätenfrei, so ist a fortiori die Voraussetzung
unseres Satzes (39) erfüllt. Der Hauptsatz der OsTRowsKischen Note kann also
als Spezialfall unseres Satzes (39) bzw. (41) angesehen werden.
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