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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0081
Notwendige und hinreichende Multiplizitätsbedingungen. 81
Beweis: Für nicht homogene Polynome siehe oben! Für homo-
gene Polynome ist folgendes hinzuzufügen: Wenn x : y: Z = a : ß: y
einen Schnittpunkt darstellt, so ist immer wenigstens eine der
Größen a, ß, y von Null verschieden und kann gleich 1 genommen
werden. Je nachdem dies nun bei a oder ß oder y geschieht,
wird man bzw. x oder y oder z gleich 1 setzen und hierauf Satz (40)
an wen den.
Um den arithmetischen Charakter der Sätze (39) und (41)
hervorzuheben, sei noch auf eine Anwendung aufmerksam gemacht, die
auffallende Analogie zu einem zahlentheoretischen Satze zeigt:
(43)
Wenn a, &, c natürliche Zahlen bedeuten, p eine Primzahl,
a 4 o Q>), und wenn die Kongruenz
6^ • c1 mod p
besteht, so ist c ein W-ter Potenzrest; d. h. es existiert eine
natürliche Zahl d, so daß dK=c mod p ist.
Auf Grund von Satz (41) beweist man nun leicht nachstehenden
analogen Satz:
Wenn a, b, c und p homogene Polynome in x, y, z sind,
jedoch p teilerfremd zu a und singularitätenfrei, d. h. frei von
Punkten, die simultan = o, = o, — o befriedigen, und
dx dy dz °
wenn die algebraische Kongruenz
(44) aK pK . ci mocj p
erfüllt ist, so ist c ein W-ter Potenzrest mod p im alge-
braischen Sinne; das soll heißen: es existiert ein homogenes
Polynom d(x, y, z), so daß
d& ~ c1 mod p ist.
B eweis:
Die in (44) vorausgesetzte Kongruenz lautet in Modulschreibweise:
so: aK=o(bK>Pß Für diese ist aber notwendig und hinreichend,
nach Satz (41), daß für jeden Schnittpunkt von b^■ = o, p—o gilt:
(a_K, P) Pß
was identisch ist mit den Bedingung
(«, P) (b, pß
Diese letztere Bedingung ist aber für sich allein wieder notwendig
und hinreichend, nach Satz (41), dafür, daß
a = o(b, pß also
a — 2 b + pp ist.
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Beweis: Für nicht homogene Polynome siehe oben! Für homo-
gene Polynome ist folgendes hinzuzufügen: Wenn x : y: Z = a : ß: y
einen Schnittpunkt darstellt, so ist immer wenigstens eine der
Größen a, ß, y von Null verschieden und kann gleich 1 genommen
werden. Je nachdem dies nun bei a oder ß oder y geschieht,
wird man bzw. x oder y oder z gleich 1 setzen und hierauf Satz (40)
an wen den.
Um den arithmetischen Charakter der Sätze (39) und (41)
hervorzuheben, sei noch auf eine Anwendung aufmerksam gemacht, die
auffallende Analogie zu einem zahlentheoretischen Satze zeigt:
(43)
Wenn a, &, c natürliche Zahlen bedeuten, p eine Primzahl,
a 4 o Q>), und wenn die Kongruenz
6^ • c1 mod p
besteht, so ist c ein W-ter Potenzrest; d. h. es existiert eine
natürliche Zahl d, so daß dK=c mod p ist.
Auf Grund von Satz (41) beweist man nun leicht nachstehenden
analogen Satz:
Wenn a, b, c und p homogene Polynome in x, y, z sind,
jedoch p teilerfremd zu a und singularitätenfrei, d. h. frei von
Punkten, die simultan = o, = o, — o befriedigen, und
dx dy dz °
wenn die algebraische Kongruenz
(44) aK pK . ci mocj p
erfüllt ist, so ist c ein W-ter Potenzrest mod p im alge-
braischen Sinne; das soll heißen: es existiert ein homogenes
Polynom d(x, y, z), so daß
d& ~ c1 mod p ist.
B eweis:
Die in (44) vorausgesetzte Kongruenz lautet in Modulschreibweise:
so: aK=o(bK>Pß Für diese ist aber notwendig und hinreichend,
nach Satz (41), daß für jeden Schnittpunkt von b^■ = o, p—o gilt:
(a_K, P) Pß
was identisch ist mit den Bedingung
(«, P) (b, pß
Diese letztere Bedingung ist aber für sich allein wieder notwendig
und hinreichend, nach Satz (41), dafür, daß
a = o(b, pß also
a — 2 b + pp ist.
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