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https://doi.org/10.11588/diglit.43556#0018
18
Reinhold Baer:
I. Die Körper 1. Art unter A.
Satz 1: Ist B 1. Art und frei zmter A, so ist
1. entweder B von der Ordnung 2 und also normal über K
[wenn nämlich 51/33' = ; G/B|! zweielementig ist],
2. oder B ist affektlos über K.
Da I G/B; die Isomorphismenmischgruppe von B ist, so folgt 1.
aus dem Satze von der Gleichheit von Basis- und Abbildungsgrad.
Aus Satz 2, 2 des § 7 von Mz und II des § 1, sowie dem Zusatz
zu Satz 1 des § 2 folgt, daß nur der identische Isomorphismus von B
ein Automorphismus von B ist, wenn ||5l/33|| = ||G/B| mehr als zwei
Elemente besitzt. Jetzt folgt aber aus der Bedingung 1. des Zusatzes
zu Satz 1 des § 4 von Mz, daß B in diesem Fall affektlos ist.
Definition 2: Zwei zu A über K konjugierte Körper heißen zu-
sammengehörig, wenn die ihnen gemäß Ilb des § 1 zugeordneten
Klassen von 51 nach $ (51) zur gleichen Klasse von 51 nach 35, d. h.
von G/B gehören.
Satz 2: Dann und nur dann ist B unter A frei [B ist 1. Art
unter A], wenn sich durch Elemente aus G bewirken läßt:
1. eine beliebige eineindeutige Abbildung des Systems der Av [der
zu A über K konjugierten Körper], bei der zusammengehörige Körper
wieder in zusammengehörige Körper übergeben,
2. daß gleichzeitig alle Av willkürlich vorgegebene Automorphismen
erleiden.x)
Da der Übergang von einem Element einer Klasse von 51 nach
$(5l) zu einem anderen Element derselben Klasse einen Automorphismus
des dieser Klasse gemäß Ilb des §1 zugeordneten zu A konjugierten
Körpers darstellt, so folgt aus II des § 1 und dem Zusatz zu Satz 1
des § 2, daß die Bedingung 1. bezw. 2. dieses Satzes mit den Bedin-
gungen 1., 2. bzw. 3. des Zusatzes zu Satz 1 des § 4 von Mz äqui-
valent ist.,
Satz 3: Ist B 1. Art und. frei unter A, so sind zwei zu A über
K konjugierte Körper dann und nur dann zusammengehörig, wenn es
möglich ist, den einen in den anderen unter elementweisem Invariant-
halten von überzuführen.
Ein Automorphismus aus G läßt dann und nur dann
elementweise invariant, wenn er als kongruente Abbildung von 51 jede
Klasse von 51 nach 33 in sich überführt. Hieraus und aus der Bedin-
gung 1. des Satzes 2 folgt der Satz 3.
*) Im Sinne der Anm. 1, p. 13.
Reinhold Baer:
I. Die Körper 1. Art unter A.
Satz 1: Ist B 1. Art und frei zmter A, so ist
1. entweder B von der Ordnung 2 und also normal über K
[wenn nämlich 51/33' = ; G/B|! zweielementig ist],
2. oder B ist affektlos über K.
Da I G/B; die Isomorphismenmischgruppe von B ist, so folgt 1.
aus dem Satze von der Gleichheit von Basis- und Abbildungsgrad.
Aus Satz 2, 2 des § 7 von Mz und II des § 1, sowie dem Zusatz
zu Satz 1 des § 2 folgt, daß nur der identische Isomorphismus von B
ein Automorphismus von B ist, wenn ||5l/33|| = ||G/B| mehr als zwei
Elemente besitzt. Jetzt folgt aber aus der Bedingung 1. des Zusatzes
zu Satz 1 des § 4 von Mz, daß B in diesem Fall affektlos ist.
Definition 2: Zwei zu A über K konjugierte Körper heißen zu-
sammengehörig, wenn die ihnen gemäß Ilb des § 1 zugeordneten
Klassen von 51 nach $ (51) zur gleichen Klasse von 51 nach 35, d. h.
von G/B gehören.
Satz 2: Dann und nur dann ist B unter A frei [B ist 1. Art
unter A], wenn sich durch Elemente aus G bewirken läßt:
1. eine beliebige eineindeutige Abbildung des Systems der Av [der
zu A über K konjugierten Körper], bei der zusammengehörige Körper
wieder in zusammengehörige Körper übergeben,
2. daß gleichzeitig alle Av willkürlich vorgegebene Automorphismen
erleiden.x)
Da der Übergang von einem Element einer Klasse von 51 nach
$(5l) zu einem anderen Element derselben Klasse einen Automorphismus
des dieser Klasse gemäß Ilb des §1 zugeordneten zu A konjugierten
Körpers darstellt, so folgt aus II des § 1 und dem Zusatz zu Satz 1
des § 2, daß die Bedingung 1. bezw. 2. dieses Satzes mit den Bedin-
gungen 1., 2. bzw. 3. des Zusatzes zu Satz 1 des § 4 von Mz äqui-
valent ist.,
Satz 3: Ist B 1. Art und. frei unter A, so sind zwei zu A über
K konjugierte Körper dann und nur dann zusammengehörig, wenn es
möglich ist, den einen in den anderen unter elementweisem Invariant-
halten von überzuführen.
Ein Automorphismus aus G läßt dann und nur dann
elementweise invariant, wenn er als kongruente Abbildung von 51 jede
Klasse von 51 nach 33 in sich überführt. Hieraus und aus der Bedin-
gung 1. des Satzes 2 folgt der Satz 3.
*) Im Sinne der Anm. 1, p. 13.