Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Kurvennetze ohne Umwege.

K = f Udu + tg (u + f),<Pt = U+
eos2(M + /)] = [t
Partikuläres Integral: t = 0 (x — 1 = 0),
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Ut = 0, U2 =-=—4
1 ’ - cos2 (u)
Die gesuchte Differentialgleichung lautet:
, . „ cos2 (u 4- 4 ,
t< ■ sm2 u = --1;
1 cos2 u ’
Die Substitution s — tg (u-\-t) liefert eine RiccATische Differential-
gleichung in #:
fj =_c^M.ä2+L±^,
du J cos 2w

von der das partikuläre Integral s=tgu bekannt ist. Die Integration
ergibt schließlich :
t = tg u 4- (y — ctg3 u)>
Ersetzt man abkürzend ctgu. . durch u, so werden die Gleichungen
des gesuchten Kurvennetzes:
i . 6 u 1 , 3 (1 — u2)
x = 1 d-y =-ß —-
V — Us U V — u3 1

Durch Elimination von u kommt als Gleichung der Schar v = Const:
[v (x — l)3 + 4y3 4-3?/ (x — 1) (a?4- 3) ]2 -
— (a;24-«/2—-1) [4t/2 + (/»—1) (xr4~7)]2;
Es handelt sich also uni Kurven 6. Grades mit folgenden Eigenschaften:
1. Die Kurven verlaufen außerhalb des Kreises x2 4'//2 ~ 1 — 0;
2. Sie gehen alle durch den Punkt x=l, y=0, in dem sie den
Kreis berühren.
3. Die Kurven haben zwei reelle Asymptoten für u=0 (x —1 = 0)
und für u3—v = 0:
(a?-l) (m2-1) + 2 (uy-1) = 0,
also die feste Kreistangente x — 1=0 und eine veränderliche Kreis-
tangente; die Kurven v=Const sind also mit ihren eigenen Asymptoten
ohne Umwege!
Ausnahmen: ?; = 0 ohne Asymptote;
v—1: Asymptoten x— 1 = 0 und y— 3=0.
4. Die Kurven berühren den Kreis außer in dem Punkt x — 1,
y—0 noch in einem weiteren Punkt (ausgenommen wieder v = 0).
^2+?/2 — 1 = 0 gibt in u und v. F - 4~?3=idfl "] = 0;
17 & \ U 1 V — u3