Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

8 Reinhold Baer. :
beliebigen Klassen von 9)2 nach je eine Klasse von 9)2 nach ll St in
ll hinein nimmt.
Definition 2 : Sind 9)2 und 9)2' zwei Mischgruppen mit den Kernen
St bzw. St', so ist ein Isomorphismus von 9)2 auf fßl' eine eineindeutige Ab-
bildung der Elemente von 9)2 auf die von 9)2', bei der für irgendzwei Ele-
mente Cj (i = 7,2) aus 9)2 mit den Bildelementen a/ aus 9)2' gilt, daß ata2 und
d1'a2Z gleichzeitig existieren oder nicht existieren, und daß im ersten Falle:
(&i = ai a2
zst.1)
Es gilt dann der fundamentale
Satz 41 Dann und nur dann gibt es einen Isomorphismus zwischen
9)2 und 932', wenn
7. St und St' als Gruppen isomorph sind und es
2. eine eineindeutige Abbildung der Klassen von 9)2 nach St auf die
von 9)1' nach St1' gibt —
diese kann dann stets so eingerichtet werden, daß St und ft' einander
zugeordnet werden.2)
A. Es seien 9)2 und 9)2' isomorph; ist dann t ein Element aus St,
f' sein Bildelement in 9)2', so gilt für jedes Element ci' aus 9)2', daß f u'
existieren muß, da f a existiert, wenn a' das Bild von a ist. Also ist
f Element von M1' und die Zuordnung also speziell eine isomorphe zwischen
St und St'.
2. folgt jetzt aber daraus, daß für alle t aus St mit dem Bild t' aus
St' und a aus 9)2 mit dem Bildelement a' aus 9)2' gilt:
(fa)' = f a'.
B. Seien die Bedingungen 1 und 2 des Satzes 4 erfüllt und jedem f
aus ä’ ein f aus fö' isomorph zugeordnet, weiter jeder Klasse Sta von
9)2 nach St eineindeutig eine Klasse a' von 9)2' nach St'. Wählen wir
jetzt aus $ a willkürlich ein Element — etwa a, aus St speziell die Iden-
tität — und ebenso aus St' a' willkürlich eines — etwa a', aus Ä' speziell
die Identität — aus, so ist die Zuordnung:
f a wird f a' zugeordnet
ein Isomorphismus von 9)2 und 9)2'.
§ 2. Die ähnlichen Abbildungen.
Definition I : Eine eineindeutige Abbildung der Mischgruppe 9)2
auf sich heiße ähnlich, wenn für irgendzwei Elemente cp (i = 1, 2), die
b cf. L. § 2, p. 244.
2) cf. L. § 2, Satz 1 p. 245.