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https://doi.org/10.11588/diglit.43546#0011
Zur Einordnung der Theorie der Mischgruppen in die Gruppentheorie. H
die Identität gewiß nicht in sich, sondern in das Element über, das bei
a in b übergeht; also gehört a e a_1 nicht zu E und a nicht zu N (E < M).
b.) St enthalte wenigstens ein von der Identität verschiedenes Ele-
ment fx.
Sei e die ähnliche Abbildung, die bewirkt, daß f a für alle f aus
hin f fx a, sonst alles in sich übergeht, a e führt die Identität dann in
fx a h Ci über, a ea“1 sicher nicht die Identität in sich, gehört also nicht
zu E und a also nicht zu N (E < M).
Satz 3: II M/E || ist eine Mischgruppe mit dem Kern K/E1) und
isomorph zu 9k, wenn 9k von der singulären Mischgruppe verschieden ist.2)
Aus Satz 1 und 2 des § 1 folgt, daß || M/E || eine Mischgruppe
mit dem Kern N (E < M) / E ist und aus Satz 2 dieses § 2 folgt, daß
N (E < M) / E = K / E ist, wenn nur 9k nicht die singuläre Misch-
gruppe ist.
Zwei Elemente von M gehören dann und nur dann zur gleichen
Klasse nach E, wenn sie die Identität aus 9k in dasselbe Element aus
9k überführen; wir können also einer Klasse von M nach E das Element
aus 9k zuordnen, in das die Elemente dieser Klasse die Identität von
9k überführen. Es ist zu zeigen, daß diese Zuordnung einen Iso-
morphismus bewirkt.
Die Eineindeutigkeit unserer Zuordnung folgt unmittelbar aus dem
oben Bemerkten.
Den Klassen aus K sind durch unsere Zuordnung Elemente aus
h zugeordnet: etwa der Klasse E k aus K das Element f aus h und der
beliebigen Klasse E a aus M das Element a aus 9k.
Dann ist Ek Ea = Eka wegen Satz 2 und führt die Identität in
f a über, da k und a ähnliche Abbildungen sind, womit die Isomorphie
gezeigt ist.
Zusatz: Die singuläre Mischgruppe läßt sich auf keine Weise als
System der Restklassen einer Gruppe nach einer Untergruppe darstellen.
Sei nämlich || M/E || eine solche Darstellung; dann ist — in be-
kannter Schreibweise — M = E-|-Ea = E-|-aE, wo a nicht in E
enthalten und sonst beliebig ist. Also ist Ea = aE und E Normal-
teiler von M, M / E also eine Faktorgruppe und gewiß nicht der singulären
Mischgruppe isomorph.
Satz 4: Ist U eine beliebige Untergruppe von M, so ist das System
II aller der Elemente, in die die Identität von 9k durch Elemente
x) cf. L. § 3 Satz p. 247.
2) cf. L. § 5 Satz 3 p. 252, wo — wie man sich leicht überzeugt —, ein zu
M, E isomorphes Paar von Gruppen zur Darstellung der Mischgruppe benutzt wird.
die Identität gewiß nicht in sich, sondern in das Element über, das bei
a in b übergeht; also gehört a e a_1 nicht zu E und a nicht zu N (E < M).
b.) St enthalte wenigstens ein von der Identität verschiedenes Ele-
ment fx.
Sei e die ähnliche Abbildung, die bewirkt, daß f a für alle f aus
hin f fx a, sonst alles in sich übergeht, a e führt die Identität dann in
fx a h Ci über, a ea“1 sicher nicht die Identität in sich, gehört also nicht
zu E und a also nicht zu N (E < M).
Satz 3: II M/E || ist eine Mischgruppe mit dem Kern K/E1) und
isomorph zu 9k, wenn 9k von der singulären Mischgruppe verschieden ist.2)
Aus Satz 1 und 2 des § 1 folgt, daß || M/E || eine Mischgruppe
mit dem Kern N (E < M) / E ist und aus Satz 2 dieses § 2 folgt, daß
N (E < M) / E = K / E ist, wenn nur 9k nicht die singuläre Misch-
gruppe ist.
Zwei Elemente von M gehören dann und nur dann zur gleichen
Klasse nach E, wenn sie die Identität aus 9k in dasselbe Element aus
9k überführen; wir können also einer Klasse von M nach E das Element
aus 9k zuordnen, in das die Elemente dieser Klasse die Identität von
9k überführen. Es ist zu zeigen, daß diese Zuordnung einen Iso-
morphismus bewirkt.
Die Eineindeutigkeit unserer Zuordnung folgt unmittelbar aus dem
oben Bemerkten.
Den Klassen aus K sind durch unsere Zuordnung Elemente aus
h zugeordnet: etwa der Klasse E k aus K das Element f aus h und der
beliebigen Klasse E a aus M das Element a aus 9k.
Dann ist Ek Ea = Eka wegen Satz 2 und führt die Identität in
f a über, da k und a ähnliche Abbildungen sind, womit die Isomorphie
gezeigt ist.
Zusatz: Die singuläre Mischgruppe läßt sich auf keine Weise als
System der Restklassen einer Gruppe nach einer Untergruppe darstellen.
Sei nämlich || M/E || eine solche Darstellung; dann ist — in be-
kannter Schreibweise — M = E-|-Ea = E-|-aE, wo a nicht in E
enthalten und sonst beliebig ist. Also ist Ea = aE und E Normal-
teiler von M, M / E also eine Faktorgruppe und gewiß nicht der singulären
Mischgruppe isomorph.
Satz 4: Ist U eine beliebige Untergruppe von M, so ist das System
II aller der Elemente, in die die Identität von 9k durch Elemente
x) cf. L. § 3 Satz p. 247.
2) cf. L. § 5 Satz 3 p. 252, wo — wie man sich leicht überzeugt —, ein zu
M, E isomorphes Paar von Gruppen zur Darstellung der Mischgruppe benutzt wird.