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https://doi.org/10.11588/diglit.43546#0013
Zur Einordnung der Theorie der Mischgruppen in die Gruppentheorie. 13
N [(U E) < U] und führe die Identität von 11 in das Element u aus
11 über. Für alle e aus U^E gehört dann auch a e a_1 zu IRE, läßt also
die Identität in Ruhe; notwendig müssen dann alle e das Element a
in Ruhe lassen; a muß also zu St n U gehören, also a zu K<>U, d. h.
N [(U - E) < U] = K - U.
Definition 3: Eine Untergruppe U von M heißt transitiv, wenn die
nach Satz 4 zugehörige Mischgruppe 11 = 9)1 ist.
Satz 6 : Ist A eine Gruppe, B eine Untergruppe von A, so daß || A/B ,|
zu 9)1 isomorph ist, so ist A einer transitiven, zu 9)1 konformen Untergruppe
M* von M homomorph, und zwar ist der Identität von M der größte in B
enthaltene Normalteiler von A zugeordnet; M* E ist weiter B und M* K
schließlich N (B < A) zugeordnet.
Den Beweis führen wir in 5 Schritten:
(1) Sei a ein festes Element aus A und Bv = Bav irgendeine Klasse
von A nach B. Es ist Bv a = und dann und nur dann Bv a = Bq a,
wenn Bv = Bq ist.
Es ist Bv a = B a,v a = Bfl eine bestimmte Klasse von A nach B. —
Ist weiter Bv a = B() a, so gibt es zu jedem b aus B ein b' aus B, so daß
b ar a = b' a0 a ist; dann muß also ar = b" a^ sein, wo b" aus B
ist, d. h. Bv = Bq.
Schließlich ist, wenn Bv = B ar ist, B/t = B ar a_1 die Klasse
derart, daß Bn a = Bv ist, so daß also gilt:
(la) Jedes Element a aus A bewirkt durch die Beziehung:
B ar B a„ a bzw. Bv UlBv a
für alle Klassen Bv von || A / B || eine eineindeutige Abbildung der Klassen
von || A / B || , also auch der Elemente von 9)1 auf sich.
Es gilt sogar:
(2) Die durch das Element a aus A gemäß (la) induzierte Abbildung
von 9)1 auf sich ist eine ähnliche Abbildung.
Seien cp (i = 1, 2) zwei Elemente aus 9)1 und cp = f a2, also f Ele-
ment aus weiter sei cp die Klasse B ab f die Klasse B k von A nach
B zugeordnet, wo also k und B k zu N (B < A) gehören.
Wegen der Isomorphie von 9)1 und || A/B || ist
B aj = B k B a2 = B k a2, da ja k als Element von N (B < A) mit B
vertauschbar ist.
Die durch a induzierte Abbildung ist aber:
B ai B a; a,
also nach obigem:
B ax a = (B k) (B a2 a) = (B k a2) a, d. h. es gilt:
(B k) (B a2) (B k) (B a2 a).
N [(U E) < U] und führe die Identität von 11 in das Element u aus
11 über. Für alle e aus U^E gehört dann auch a e a_1 zu IRE, läßt also
die Identität in Ruhe; notwendig müssen dann alle e das Element a
in Ruhe lassen; a muß also zu St n U gehören, also a zu K<>U, d. h.
N [(U - E) < U] = K - U.
Definition 3: Eine Untergruppe U von M heißt transitiv, wenn die
nach Satz 4 zugehörige Mischgruppe 11 = 9)1 ist.
Satz 6 : Ist A eine Gruppe, B eine Untergruppe von A, so daß || A/B ,|
zu 9)1 isomorph ist, so ist A einer transitiven, zu 9)1 konformen Untergruppe
M* von M homomorph, und zwar ist der Identität von M der größte in B
enthaltene Normalteiler von A zugeordnet; M* E ist weiter B und M* K
schließlich N (B < A) zugeordnet.
Den Beweis führen wir in 5 Schritten:
(1) Sei a ein festes Element aus A und Bv = Bav irgendeine Klasse
von A nach B. Es ist Bv a = und dann und nur dann Bv a = Bq a,
wenn Bv = Bq ist.
Es ist Bv a = B a,v a = Bfl eine bestimmte Klasse von A nach B. —
Ist weiter Bv a = B() a, so gibt es zu jedem b aus B ein b' aus B, so daß
b ar a = b' a0 a ist; dann muß also ar = b" a^ sein, wo b" aus B
ist, d. h. Bv = Bq.
Schließlich ist, wenn Bv = B ar ist, B/t = B ar a_1 die Klasse
derart, daß Bn a = Bv ist, so daß also gilt:
(la) Jedes Element a aus A bewirkt durch die Beziehung:
B ar B a„ a bzw. Bv UlBv a
für alle Klassen Bv von || A / B || eine eineindeutige Abbildung der Klassen
von || A / B || , also auch der Elemente von 9)1 auf sich.
Es gilt sogar:
(2) Die durch das Element a aus A gemäß (la) induzierte Abbildung
von 9)1 auf sich ist eine ähnliche Abbildung.
Seien cp (i = 1, 2) zwei Elemente aus 9)1 und cp = f a2, also f Ele-
ment aus weiter sei cp die Klasse B ab f die Klasse B k von A nach
B zugeordnet, wo also k und B k zu N (B < A) gehören.
Wegen der Isomorphie von 9)1 und || A/B || ist
B aj = B k B a2 = B k a2, da ja k als Element von N (B < A) mit B
vertauschbar ist.
Die durch a induzierte Abbildung ist aber:
B ai B a; a,
also nach obigem:
B ax a = (B k) (B a2 a) = (B k a2) a, d. h. es gilt:
(B k) (B a2) (B k) (B a2 a).