Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

18 Reinhold Baer: Zur Einordnung der Theorie der Mischgruppen usw.
Bei x gehe a' in a" über; da x eine ähnliche Abbildung ist, geht
f a' in f a" über. Schließlich geht bei a notwendig f wieder in f und
a" etwa in a'" über.
Dann bewirkt also a_1 x a, daß f a in f a'" übergeht; mit x ist also
auch a_1 x a eine ähnliche Abbildung.
Durch die Beziehung:
x —> a_1 x a
wird eine Abbildung von M auf sich bewirkt. Diese ist eineindeutig;
denn aus a_1 xx a = a“1 x2 a folgt xx = x2. Sie ist weiter isomorph;
denn (a_1 xx a) (a“1 x2 a) = a_1 xx x2 a. Schließlich führt sie E in sich
über; da nämlich a als Isomorphismus die Identität in Buhe läßt, so tut
dies mit e aus E auch a_1 e a, gehört also ebenfalls zu E und es ist
a“1 E a = E.
Wir haben noch zu zeigen, daß dieser Isomorphismus aus J (M)
in SOI gerade a induziert.
Einer Klasse Ex von M nach E entspricht genau das Element j
aus 9k, in das die Identität aus 9k durch Abbildungen aus E x übergeht.
Führt jetzt a das Element j aus 9k in über, so repräsentiert die Klasse
a_1 E x a = (a_1 E a) a“1 x a = E a“1 x a
genau das Element ; denn E a_1 führt die Identität in sich, x sie in £
und a das Element £ in £' über. Damit ist 2 vollständig bewiesen; es
gilt sogar der
Zusatz : J (M)* ist dann und nur dann homomorph zu J, wenn M*
mit allen Elementen von J vertauschbar ist.
Das Hinreichen der Bedingung folgt aus dem Beweise von Satz 62;
die Notwendigkeit sieht man folgendermaßen ein:
da nach dem Cayley sehen Satze 1) die Gruppe M* isomorph der
Gruppe ihrer ähnlichen Abbildungen ist, so können wir die Vereinigungs-
gruppe V von M* und J (M*) bilden, da ja in dieser Auffassung beide
Gruppen Abbildungsgruppen von M* sind; offenbar ist V eine Untergruppe
des Holomorphs von M*.2) Jedes Element von V induziert eine gewisse
eineindeutige Abbildung von 9k auf sich; M* ist ja eine Gruppe ähnlicher
Abbildungen; von J (M*) sagt Satz 6X aus, daß es Isomorphismen von
9k bewirkt.
Sei jetzt i ein Element aus J (M*), a eines aus M*; dann ist auch
i a i“1 Element von M*, da V Untergruppe des Holomorphs von M* ist;
ersetzen wir i durch den Isomorphismus I von 9k, den i induziert, so
folgt, daß 1 a I-1 Element von M* ist, da es dieselbe ähnliche Abbildung
von 9k bewirkt wie i a i_1. Daraus folgt aber sofort unser Zusatz.
x) cf. p. 10, Anm. 1).
2) cf. A. SPEISER: Gruppentheorie 1923 p. 77 und die Konstruktion des Holo-
morph p. 76 sowie Satz 77.