Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Wolfgang Keull:

einem Faktor oder von einer endlichen Potenz jedes Faktors gilt. Ringe,
in denen das Nullideal Primärideal ist, bezeichnen wir als primäre
Ringe. Unter einem Integritätsbereich verstehen wir einen Ring,
in dem das Nullideal Primideal ist, in dem also keine Nullteiler auftreten.
Ein Integritätsbereich 9? kann stets durch formale Quotientenbildung
(nach dem Vorbild der Konstruktion der rationalen Zahlen aus den
ganzen) zu einem Quotientenkörper St erweitert werden. Ist p ein
Primideal (J n) aus 91, so bildet die Gesamtheit derjenigen Elemente
aus Ä, die sich als Quotienten von Elementen aus 91 mit durch p un-
teilbarem Nenner schreiben lassen, einen zwischen 91 und liegenden
Integritätsbereich, für den wir die Schreibweise 91p benutzen. Unter
dem Erweiterungsideal des Ideals n aus 91 verstehen wir das Ideal
m
Ci • 91p aus 91p, also die Gesamtheit der Elemente £ ' a-i, (ai bei. aus
i= 1
a, ai bei. aus 91p); als Verengungsideal des Ideals a aus 91p definieren
wir das Ideal cU9t aus 91. Jedes Ideal aus 91p ist Erweiterungs-
ideal seines Verengungsideals.1) Das Erweiterungsideal von p,
p • 91p ist in 91p größter gemeinschaftlicher Teiler aller vom Einheits-
ideal verschiedenen Ideale. Ferner verifiziert man aus der Definition
von 91p leicht die folgenden Tatsachen:
Das Ideal p aus 91p ist dann und nur dann Primideal, wenn sein
Verengungsideal p°91 durch p teilbares Primideal in 91 ist. Sind px
und p2 durch p teilbare Primideale aus 91, so ist px • 91p dann und nur
dann durch p2 • 91p teilbar, wenn px durch p2 teilbar ist. Man kann
also anstatt die Teilbarkeitsverhältnisse der durch p teil-
baren Primideale in 91 zu untersuchen, auch die Teilbarkeits-
verhältnisse der sämtlichen Primideale in 91p studieren.
Es seien schließlich noch einige im folgenden benutzte Hilfssätze
über Primär- und Primideale zusammengestellt.2)
Hilfssatz a): Der größte gemeinschaftliche Teiler aller der Ideale,
die zu einem gegebenen Primärideal q nicht prim sind, ist ein Prim-
ideal p, das „zu q gehörige Primideal“. Eine Potenz des zu q gehörigen
Primideals ist durch q teilbar.
Hilfssatz b): Jedes Ideal a läßt sich als kleinstes gemeinschaft-
liches Vielfaches von endlich vielen, zu verschiedenen Primidealen ge-
hörigen Primäridealen darstellen. Ist die Darstellung eine „kürzeste“,
3) Die Dtp sind „Quotientenringe“ im Sinne von G. §6. Daraus kann die Beh..
sowie auch die weiteren Beh. über den Zusammenhang der Primideale von 9t und
9tp abgeleitet werden. Vgl. G., besonders § 4 u. § 6!
2) Zu den angeführten Hilfssätzen vgl. N., sowie die andersartige Einführung
der zugehörigen Primideale und isolierten Komponentenideale in K. § 2—4.