DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43549#0010
10
Wolfgang Krull:
gewisses r : p/(r> + I) = p'(r+1) + f), p'(r) > p'(r+1) -i_ und daraus folgt
(nach, dem Dedekindschen „Modulaxiom“)1) p'(r) j> p'GW) + f) p'G>.
Wegen der Hauptidealeigenschaft von f) gilt eine Gleichung p'G) f) -
1) • 1) mit eindeutig bestimmtem p, und es muß dabei p = p'(r> sein,
da ja 1) als zu p gehöriges Primärideal zu p'(r) prim ist.
* Verstehen wir unter (p1; p2, . . . ., pg) eine endliche Basis von
p(z\ so erhalten wir aus p'(r) = p'(r+1) 4- p • p'G) ein Kongruenzensystem:
2 diz) ’ Px-^0 (p'(r+1)) G = 1, 2 ... . s) (2)
x = l
bei dem die Elemente aus p, also auch aus p sind. Das System (2)
liefert für die Determinante r = | hiK—| die Beziehungen r-p% -
0 (p'GA1)) (x = 1, 2 . . . s); (r) • p'G) > p'G+D und daraus folgt p'G) -
p'G+ip weij wegen r = E (p) in sp das Einheitsideal darstellt.
Durch Anwendung von Satz 2 ergibt sich schließlich: p'G) = p'G+D-
. . . . = n, also p' = n, weil n Primideal.
Unter einer mit p beginnenden Primidealkette der Länge l verstehen
wir eine Kette p = p0 < px < p2 < < Pz-i # n.
Hilfssatz. Gibt es eine mit p beginnende Primidealkette
p — p0 < pt < . . . . < pz_t der Länge Z, und ist p durch die
Primideale p(1), p(2), . . . ., p(s) nicht teilbar, so gibt es auch
eine Kette p < pf < . . . . < p*_x, bei der kein p* durch eines
der Ideale p(x) (x = 1, 2 . . . s) teilbar ist.
a) Der Hilfssatz ist trivial für Z = 1. Er gilt aber auch für Z = 2;
ist nämlich hier a ein (stets vorhandenes)2) durch kein p(x) teilbares
Element aus p, so kann nach dem Hauptidealsatz p jedenfalls kein
höchstes Primideal von (a) sein; andrerseits muß es mindestens ein höch-
stes Primideal p/ von (u) geben, das durch p3), aber •— wegen der Aus-
wahl von a — sicher durch kein teilbar ist.
B Vgl. DEDEKIND: Über die durch drei Moduln erzeugte Dualgruppe. Math.
Annal. 53 (1900) S. 371—403 § 6.
2) Ein Element a der gewünschten Art wird so erhalten: Es seien bei geeig-
neter Numerierung pG) (i = 1, 2 . . . t < s) diejenigen unter den pfx), die in der Ge-
samtschar der p(x> keinen echten Teiler besitzen. Setzen wir qG) -
(i, l = 1,2 ... t), so ist qG) 4 0 (pG)), und es gibt daher ein durch qG), aber nicht
t
durch pG) teilbares Element «G)_ a — a(i) ist dann durch p, aber durch kei-
i=l
nes der Ideale pG) (i = 1, 2 §) teilbar.
3) Man beachte, daß eine Potenz des Produktes der höchsten Primideale
von (a) durch (a), also auch durch p teilbar ist!
Wolfgang Krull:
gewisses r : p/(r> + I) = p'(r+1) + f), p'(r) > p'(r+1) -i_ und daraus folgt
(nach, dem Dedekindschen „Modulaxiom“)1) p'(r) j> p'GW) + f) p'G>.
Wegen der Hauptidealeigenschaft von f) gilt eine Gleichung p'G) f) -
1) • 1) mit eindeutig bestimmtem p, und es muß dabei p = p'(r> sein,
da ja 1) als zu p gehöriges Primärideal zu p'(r) prim ist.
* Verstehen wir unter (p1; p2, . . . ., pg) eine endliche Basis von
p(z\ so erhalten wir aus p'(r) = p'(r+1) 4- p • p'G) ein Kongruenzensystem:
2 diz) ’ Px-^0 (p'(r+1)) G = 1, 2 ... . s) (2)
x = l
bei dem die Elemente aus p, also auch aus p sind. Das System (2)
liefert für die Determinante r = | hiK—| die Beziehungen r-p% -
0 (p'GA1)) (x = 1, 2 . . . s); (r) • p'G) > p'G+D und daraus folgt p'G) -
p'G+ip weij wegen r = E (p) in sp das Einheitsideal darstellt.
Durch Anwendung von Satz 2 ergibt sich schließlich: p'G) = p'G+D-
. . . . = n, also p' = n, weil n Primideal.
Unter einer mit p beginnenden Primidealkette der Länge l verstehen
wir eine Kette p = p0 < px < p2 < < Pz-i # n.
Hilfssatz. Gibt es eine mit p beginnende Primidealkette
p — p0 < pt < . . . . < pz_t der Länge Z, und ist p durch die
Primideale p(1), p(2), . . . ., p(s) nicht teilbar, so gibt es auch
eine Kette p < pf < . . . . < p*_x, bei der kein p* durch eines
der Ideale p(x) (x = 1, 2 . . . s) teilbar ist.
a) Der Hilfssatz ist trivial für Z = 1. Er gilt aber auch für Z = 2;
ist nämlich hier a ein (stets vorhandenes)2) durch kein p(x) teilbares
Element aus p, so kann nach dem Hauptidealsatz p jedenfalls kein
höchstes Primideal von (a) sein; andrerseits muß es mindestens ein höch-
stes Primideal p/ von (u) geben, das durch p3), aber •— wegen der Aus-
wahl von a — sicher durch kein teilbar ist.
B Vgl. DEDEKIND: Über die durch drei Moduln erzeugte Dualgruppe. Math.
Annal. 53 (1900) S. 371—403 § 6.
2) Ein Element a der gewünschten Art wird so erhalten: Es seien bei geeig-
neter Numerierung pG) (i = 1, 2 . . . t < s) diejenigen unter den pfx), die in der Ge-
samtschar der p(x> keinen echten Teiler besitzen. Setzen wir qG) -
(i, l = 1,2 ... t), so ist qG) 4 0 (pG)), und es gibt daher ein durch qG), aber nicht
t
durch pG) teilbares Element «G)_ a — a(i) ist dann durch p, aber durch kei-
i=l
nes der Ideale pG) (i = 1, 2 §) teilbar.
3) Man beachte, daß eine Potenz des Produktes der höchsten Primideale
von (a) durch (a), also auch durch p teilbar ist!