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https://doi.org/10.11588/diglit.43549#0011
Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen.
11
b) Wir nehmen die Gültigkeit des Hilfssatzes für l 2 an und zeigen
seine Richtigkeit für l + 1. Ist in der gegebenen Kette p < px < p2 <
. . . < bz das Ideal bi durch kein p(x) teilbar, so folgt aus der für die
Kette bi < b2 < • • • < Pz zutreffenden Induktionsvoraussetzung die
Existenz einer Kette p < pi* = pi < p2* < • • • • < Pz durch
die p(x) unteilbaren p*.
Ist aber bi durch eines der Ideale p(x) teilbar, so sei a ein in keinem
b(x) vorkommendes Element aus p, bi* sei e^n (stets vorhandenes) durch
b teilbares höchstes Primideal von (a) + p2 ■ — bi* is_t zu sämtlichen p1(x)
prim und sicher von p verschieden, denn es stellt bi* / p2 ats höchstes
Primideal von ((a) + p2) / ba nach dem Hauptidealsatz ein höchstes
Primideal von 91 / p2 dar, was p / p2 wegen p2/p2>pi/p2>p/p2 nicht ist.
Durch Anwendung der Induktionsvoraussetzung auf die Kette bi <
b2 < • • • • < bz ergibt sich nun wieder die Existenz einer Kette
b < bi* < ba* < • • • < bz mit durch die p(x) unteilbaren p*.
Primidealkettensatz. Jede mit p beginnende Primideal-
kette besitzt höchstens Z Glieder, wenn p höchstes Primideal
eines Ideals ci = (als a2, .... a7) mit Z-gliedriger Basis ist.
Für Z = 1 reduziert sich die Behauptung auf den bereits bewiesenen
Hauptidealsatz. Wir nehmen ihre Richtigkeit für Z — 1 > 1 an, und
weisen sie für Z nach: dabei darf 91 = 91p vorausgesetzt werden, weil
die mit p beginnenden Primidealketten aus 91 eindeutig umkehrbar
den mit p • 91p beginnenden Primidealketten aus 91p entsprechen.
Wir setzen b = (a15 a2, .... o7_i) und verstehen unter p(1), p(2),
. . . . p(s) die höchsten Primideale von b. Die p(x) sind sämtlich Vielfache
von p, wir dürfen sie von p verschieden annehmen, weil wir sonst von
a zu b übergehen und die Induktionsvoraussetzung anwenden könnten.
Zu keinem p(x) gibt es eine Primidealkette p < p' < p(x), denn in
91 / p(x) muß p / p(z) höchstes Primideal sein, weil dort das zu p / p(x)
gehörige Primärideal (a + p(x)) / p(x) ein Hauptideal mit der Basis (uz)
darstellt.
Es sei jetzt p < px < p 2 < . . . < pm eine mit p beginnende
Primidealkette, p < p/ < p2* < • • • < p^, eine nach dem Hilfs-
satz vorhandene Vergleichskette, bei der p*t durch kein p(x) teilbar ist.
In 91 / p^ ist (b + p^) / p*t ein zu p / p*n gehöriges Primärideal;
stellt nämlich p irgendein höchstes Primideal von (p^ + b) / pX dar,
und bezeichnet p' dasjenige Primideal aus 91, das aus allen den in
den Klassen von p auftretenden Elementen besteht, so ist p' sicher Teiler
eines p(x) aber angesichts der Wahl von p*t von sämtlichen p(x) ver-
schieden, mithin nach dem oben Festgestellten gleich p. Wenden wir die
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b) Wir nehmen die Gültigkeit des Hilfssatzes für l 2 an und zeigen
seine Richtigkeit für l + 1. Ist in der gegebenen Kette p < px < p2 <
. . . < bz das Ideal bi durch kein p(x) teilbar, so folgt aus der für die
Kette bi < b2 < • • • < Pz zutreffenden Induktionsvoraussetzung die
Existenz einer Kette p < pi* = pi < p2* < • • • • < Pz durch
die p(x) unteilbaren p*.
Ist aber bi durch eines der Ideale p(x) teilbar, so sei a ein in keinem
b(x) vorkommendes Element aus p, bi* sei e^n (stets vorhandenes) durch
b teilbares höchstes Primideal von (a) + p2 ■ — bi* is_t zu sämtlichen p1(x)
prim und sicher von p verschieden, denn es stellt bi* / p2 ats höchstes
Primideal von ((a) + p2) / ba nach dem Hauptidealsatz ein höchstes
Primideal von 91 / p2 dar, was p / p2 wegen p2/p2>pi/p2>p/p2 nicht ist.
Durch Anwendung der Induktionsvoraussetzung auf die Kette bi <
b2 < • • • • < bz ergibt sich nun wieder die Existenz einer Kette
b < bi* < ba* < • • • < bz mit durch die p(x) unteilbaren p*.
Primidealkettensatz. Jede mit p beginnende Primideal-
kette besitzt höchstens Z Glieder, wenn p höchstes Primideal
eines Ideals ci = (als a2, .... a7) mit Z-gliedriger Basis ist.
Für Z = 1 reduziert sich die Behauptung auf den bereits bewiesenen
Hauptidealsatz. Wir nehmen ihre Richtigkeit für Z — 1 > 1 an, und
weisen sie für Z nach: dabei darf 91 = 91p vorausgesetzt werden, weil
die mit p beginnenden Primidealketten aus 91 eindeutig umkehrbar
den mit p • 91p beginnenden Primidealketten aus 91p entsprechen.
Wir setzen b = (a15 a2, .... o7_i) und verstehen unter p(1), p(2),
. . . . p(s) die höchsten Primideale von b. Die p(x) sind sämtlich Vielfache
von p, wir dürfen sie von p verschieden annehmen, weil wir sonst von
a zu b übergehen und die Induktionsvoraussetzung anwenden könnten.
Zu keinem p(x) gibt es eine Primidealkette p < p' < p(x), denn in
91 / p(x) muß p / p(z) höchstes Primideal sein, weil dort das zu p / p(x)
gehörige Primärideal (a + p(x)) / p(x) ein Hauptideal mit der Basis (uz)
darstellt.
Es sei jetzt p < px < p 2 < . . . < pm eine mit p beginnende
Primidealkette, p < p/ < p2* < • • • < p^, eine nach dem Hilfs-
satz vorhandene Vergleichskette, bei der p*t durch kein p(x) teilbar ist.
In 91 / p^ ist (b + p^) / p*t ein zu p / p*n gehöriges Primärideal;
stellt nämlich p irgendein höchstes Primideal von (p^ + b) / pX dar,
und bezeichnet p' dasjenige Primideal aus 91, das aus allen den in
den Klassen von p auftretenden Elementen besteht, so ist p' sicher Teiler
eines p(x) aber angesichts der Wahl von p*t von sämtlichen p(x) ver-
schieden, mithin nach dem oben Festgestellten gleich p. Wenden wir die