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https://doi.org/10.11588/diglit.43551#0003
Die Sätze von Lie und Gambier über Kurven
eines Linienkomplexes.
Sophus Lie hat zuerst bewiesen, daß alle von einem Punkt aus-
gehenden Kurven eines linearen Komplexes die Nullebene des Punktes
daselbst zur gemeinsamen Schmiegungsebene haben und dieselbe Torsion
besitzen.1) Geht man zu nichtlinearen Linienkomplexen über und be-
trachtet alle Komplexkurven, die von einem Linienelement ausgehn,
so haben sie zwar noch die Schmiegungsebene gemein (die Tangential-
ebene des dem Punkt zugeordneten Komplexkegels längs der Erzeugen-
den, der das Linienelement angehört), nicht aber, wie Lie vermutete,
die Torsion. Soll dies überall gelten, dann muß der Kegel eine Ebene,
der Komplex also ein Nullsystem sein.
Diese Ergebnisse hat neuerdings Herr Gambier2) ganz wesentlich
ergänzt, er gibt eine sehr schöne differentialgeometrische Konstruktion
an, die Torsion und Krümmung der von einem Linienelement aus-
gehenden Komplexkurve in einfachster Weise mit der Torsion der von
demselben Linienelement ausgehenden Kurven des berührenden linearen
Komplexes und der sehr zweckmäßig hier eingeführten „Kegelkrümmung“
des Komplexkegels verbindet.
Die folgenden Zeilen sind der Aufgabe gewidmet, auf analytischem
Weg das Gambier sehe schöne Ergebnis zu beweisen.
Der erste Beweis geht von spezieller Lage und spezieller Wahl
der Linienkoordinaten aus, gewährt daher die einfachste analytische Ein-
sicht; der zweite ist den doch recht oft gegen solche „spezielle Wahl“
aus Gründen der Strenge oder der Eleganz ausgesprochenen Einwänden
nicht ausgesetzt, aber die nachträgliche Deutung erscheint ziemlich un-
vermittelt.
1) Vgl. Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen III, Abhandlungen zur
Theorie der Differentialgleichungen, herausgegeben von Friedrich Engel (Leipzig
1922), Seite 560—562 sowie Seite 770.
2) B. Gambier, Courbure et torsion des courbes d’un complexe lineaire ou
non lineaire. Bulletin des Sciences mathematiques L, 1826, 1, p. 43—50.
eines Linienkomplexes.
Sophus Lie hat zuerst bewiesen, daß alle von einem Punkt aus-
gehenden Kurven eines linearen Komplexes die Nullebene des Punktes
daselbst zur gemeinsamen Schmiegungsebene haben und dieselbe Torsion
besitzen.1) Geht man zu nichtlinearen Linienkomplexen über und be-
trachtet alle Komplexkurven, die von einem Linienelement ausgehn,
so haben sie zwar noch die Schmiegungsebene gemein (die Tangential-
ebene des dem Punkt zugeordneten Komplexkegels längs der Erzeugen-
den, der das Linienelement angehört), nicht aber, wie Lie vermutete,
die Torsion. Soll dies überall gelten, dann muß der Kegel eine Ebene,
der Komplex also ein Nullsystem sein.
Diese Ergebnisse hat neuerdings Herr Gambier2) ganz wesentlich
ergänzt, er gibt eine sehr schöne differentialgeometrische Konstruktion
an, die Torsion und Krümmung der von einem Linienelement aus-
gehenden Komplexkurve in einfachster Weise mit der Torsion der von
demselben Linienelement ausgehenden Kurven des berührenden linearen
Komplexes und der sehr zweckmäßig hier eingeführten „Kegelkrümmung“
des Komplexkegels verbindet.
Die folgenden Zeilen sind der Aufgabe gewidmet, auf analytischem
Weg das Gambier sehe schöne Ergebnis zu beweisen.
Der erste Beweis geht von spezieller Lage und spezieller Wahl
der Linienkoordinaten aus, gewährt daher die einfachste analytische Ein-
sicht; der zweite ist den doch recht oft gegen solche „spezielle Wahl“
aus Gründen der Strenge oder der Eleganz ausgesprochenen Einwänden
nicht ausgesetzt, aber die nachträgliche Deutung erscheint ziemlich un-
vermittelt.
1) Vgl. Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen III, Abhandlungen zur
Theorie der Differentialgleichungen, herausgegeben von Friedrich Engel (Leipzig
1922), Seite 560—562 sowie Seite 770.
2) B. Gambier, Courbure et torsion des courbes d’un complexe lineaire ou
non lineaire. Bulletin des Sciences mathematiques L, 1826, 1, p. 43—50.