Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Heinrich Liebmann:

§ 1. Erster Beweis.
Als eine Nullebene des linearen Komplexes wählen wir die xy-
Ebene, die Gerade x — z = 0 soll eine Komplexgerade sein.
Dann hat der Komplex die Gleichung
xz' — z = a (xy' — ?/) + bz,
er ist in sogleich genauer anzugebender Weise „berührender linearer
Komplex“ für alle Komplexe, deren Gleichung „in aufgelöster Form“
durch
xz' — z= a {xy' —«/) + bz' +^«n Q/')2 + 2ai2.yV + 2ai3?/' (xz' — z}
+ a22(/)2 + 2a23^' (xy’-y) + a33 (xy'— ?/)2} + ..
gegeben ist.
Das heißt: Alle Komplexkegel, die von Punkten Q der Umgebung
von Po(x=y = z = O') ausstrahlen, werden von den Nullebenen dieser
Punkte berührt; genauer: haben mit ihnen zwei „unendlich benach-
barte“ Gerade gemein, deren Winkel von derselben Ordnung ist wie
der Abstand Po Q. Für den von Po ausstrahlenden Kegel gilt also,
daß er die Nullebene z — 0 berührt und zwei zusammenfallende Gerade
<7o (2/= ~ 0) mit ihr gemein hat.
Krümmung und Torsion einer von Po ausgehenden, g0 berührenden
Komplexkurve sind durch
xz'' = axy" -\-bz" + «11«/'y" +..
z" -[-xz'" = a (y" -}-xy"f')-\-bz'" + «n (?/')2T--
mit x = 0 bestimmt, also durch
z" = 0, ay" pbz'"(y")2 = 0.
Hieraus liest man ab, daß alle diese Kurven dieselbe Schmiegungs-
ebene z — 0, ferner die Krümmung


und die Torsion
1 z"' , a , an 1 . 1 an
q y b b J Qo r 0
besitzen. Daher ist 1 : o0 gerade die Torsion der dem berührenden
linearen Komplex (air=0!) angehörenden berührenden Komplex-
kurven. (Nebenbei erkennt man leicht, daß 1 : o0 von der Wahl von
g0 unabhängig ist.)
Nur der letzte Koeffizient bedarf noch der Deutung. Der zu Po
gehörige Komplexkegel