Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Richard Baldus:

hyperbolischer Höhenschnittpunkt. Ist dagegen 2 a stumpf, dann kann
II auch auf oder außerhalb (TT) fallen, so daß kein hyperbolischer Höhen-
schnittpunkt existiert. Die Euklidische Bedingung für die hyperbolische
Existenz von II ist 011 O 1. Nun ist, alles Euklidisch,

011 • cos a — OQ = OC • cos (tt — 2 a),

das liefert die Bedingung

011 = -

OC ■ cos 2a
cos a

<1.

Ist a die hyperbolische Länge der Dreiecksseite OB, dann folgt ver-
möge d) uud c) hieraus hyperbolisch
(1) dir a > —--2 • cos a. D. h.
cos a
Haben in der hyperbolischen Geometrie die gleichen
Seiten eines gleichschenkeligen Dreiecks die Länge a
und schließen sie einen Winkel 2a ein, dann existiert der
Höhenschni11punkt des Dreiecks immer und nur dann
wenn entweder 2a nicht stumpf ist oder wenn 2a stumpf
ist und die Ungleichung (1) erfüllt ist
4. Zur Aufstellung der Bedingungen für
die Existenz von M in einem hyperbolischen,
gleichschenkeligen Dreieck denken wir uns
dieses wieder mit der Spitze auf 0 gelegt,
Fig. 3. Dann sind die hyperbolischen Mittel¬
senkrechten MO und MB1 nach a) auch
Euklidische Lote zu den Seiten; die Eukli¬
dische Bedingung 1 für die hyperbo¬
lische Existenz von M liefert vermöge der
Euklidischen Beziehung
OBX- 001= OB: OB = cos
die Euklidische Ungleichung 0I\ < cos a. Da
die hyperbolische Ungleichung
(2) /A^<cosax).

a


führt zufolge d) auf
D. h.

x) Diese Ungleichung kann man auch aus der Forderung gewinnen, daß
die hyperbolische Länge von OH kleiner sein soll als die zum Parallelwinkel a
gehörende Lotlänge.