Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

10

Richard Baldus:

Sätze der Nrn. 3 und 4 sprechen dann die Bedingungen dafür aus,
daß ein eigentlicher Umkreis auftritt, keine Abstandslinie und kein
Grenzkreis um das Dreieck.
10. Der Satz von Nr. 8 ist auch an sich interessant. Er gibt
zu weiteren Fragestellungen Anlaß, von denen nur eine genannt sei:
Man fällt von einem Punkt Ar einer Dreiecksseite BC das Lot auf hc
und erhält Bx auf AC, fällt von Bx das Lot auf und erhält C± auf AB.
Kann nun auch A± Cx auf hg senkrecht stehen ? In der Euklidischen
Geometrie erkennt man sofort, daß dies immer und nur dann eintritt,
wenn A1 (und damit auch Bx und 6\) Seitenmittelpunkt ist.
Es liege nun ein hyperbolisches Dreieck mit Höhenschnittpunkt
vor. Alan legt es, wieder nach dem Prinzip der speziellen Lage, mit
seinem Höhenschnittpunkt auf 0. Dann sind die Euklidischen Senk-
rechten zu den Höhen nach a) auch hyperbolische Senkrechte, daher
gibt es nach dem soeben Gesagten auch hyperbolisch genau ein Dreieck
An Bx Cv nämlich das aus den Euklidischen Seitenmitten gebildete, dessen
Seiten auf den Höhen des ursprünglichen Dreiecks senkrecht stehen.
Demnach gilt folgender Schließungssatz:
Es gibt in der absoluten Geometrie zu jedem Dreieck
ABC mit Höhen Schnittpunkt genau ein eingeschriebenes
Dreieck A1 B^ Cr (d. h. Ax ist innerer Punkt der Strecke
B C usw.) derart, daß die Seiten des zweiten Dreiecks auf
den Höhen des ersten senkrecht stehen.
11. Die Sätze der Nrn. 8 und 10 sind mittels des Prinzips der
speziellen Lage gewonnen. Auf ähnliche Weise kann man noch weitere
Tatsachen der absoluten Geometrie erkennen. Als erstes Beispiel sei
folgender Satz angeführt1):
Fällt man in der absoluten Geometrie von einem Punkte
P der Seite AC eines Dreiecks AB C auf die Mittelsenkrechte
der Seite AB das Lot, dann schneidet dieses Lot die Seite B C
in einem Punkte Q, und die Strecken AQ und BP schneiden
sich in einem Punkte der St re cke, welche C m i t d e m Mittel-
punkte von AB verbindet.
Hieraus folgt unmittelbar der Satz vom Scknittpunkt der Mittel-
linien.
Als zweites Beispiel sei der Nachweis genannt, daß die bekannte Tat-
sache der Euklidischen Geometrie, daß im spitzwinkeligen Dreieck
die Höhen gleichzeitig die Winkel halbierenden des Höhen-
fußpunktdreiecks sind, auch in der absoluten Geometrie gilt.2)

3 N.G., S. 111/112.

’-) N. G., S. 109.