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https://doi.org/10.11588/diglit.43587#0009
Reduktion der Konstruktion von Körpern usw.
9
Unterkörper des zu konstruierenden Körpers aufsetzen kann, wie am
Schluß von I, Kap. IV angegeben, jedesmal unter Berücksichtigung des
Gruppentypus als Aufspaltung von @/3l. Das Gesamtprodukt ergibt
dann einen Körper mit der Gruppe
Lassen sich überhaupt passende Primärkörper angeben, so führt
diese Konstruktionsmethode sicher zum Ziel, da die Auswahl des maxi-
malen Abelschen Unterkörpers für die Fortsetzbarkeit der Ringkörper-
konstruktionen nach I, Kap. IV gleichgültig ist, nicht aber für die
Primärkörperkonstruktionen, die deswegen zuerst ausgeführt werden
müssen. Es gibt z. B., wenn wir als Grundkörper den der rationalen
Zahlen wählen, Abelsche Körper vom Typus (l, Z), die schon dadurch,
daß ihre Klassenzahl zu l teilerfremd ist, überhaupt nicht die Eignung
zu einem maximalen Abelschen Unterkörper eines (größeren) Primär-
körpers besitzen.
Wichtig ist auch, daß bei der gegebenen Gliederung der zwei-
stufigen Gruppe Primärgruppen zu jeder Primzahl immer nur als ein-
malige Faktoren eines relativen Produkts auftreten können, während
beliebig hohe Ringgruppenpotenzen vorkommen können. Eine Potenz
eiuer Ringgruppe über dem Kommutatorfaktor behält diesen als Kom-
mutatorfaktor bei; bei der Primärgruppe dehnt die Potenzierung den
Kommutatorfaktor.
Es kommt also tatsächlich nur noch darauf an, für die zweistufigen
Gruppen von Primzahlpotenzordnung Körperkonstruktionen zu finden,
um für jede zweistufige Gruppe eine solche in der Hand zu haben.
Um diese Aufgabe zu vereinfachen, werden im folgenden Kapitel Maxi-
maltypen von Primärgruppen aufgestellt, die alle als Faktorgruppen
aufweisen und nur von wenigen Invarianten abhängen.
II. Reduktion der zweistufigen Gruppe von Primzahlpotenzordnung auf
Maximaltypen.
Es sei eine zweistufige Gruppe S = {Sx, . . . Sm; 31} von Prim-
zahlpotenzordnung vorgelegt. 31 sei ihre Kommutatorgruppe; $x 31,
. . . Sm 31 eine Basis für den Kommutatorfaktor. Ist Ord (8^ 31) -
Z\ Ord(^)=ZÄX so gilt
Zuerst kann man @ als Faktorgruppe einer Primärgruppe <£) -
{Sx, . . . Sm; 3U } darstellen, in der Ord (8U) = Ord 3lz) = l!1 |M
gilt. Das Entsprechende gilt sogar, wenn überhaupt @/3I eine Abelsche,
31 eine beliebige Gruppe ist. Ist nämlich ® S2a'2 . . . Sma,n 31,
so kann man eine Gruppe: § = 2 ~S22 ... ~Smam 31' ansetzen,
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Unterkörper des zu konstruierenden Körpers aufsetzen kann, wie am
Schluß von I, Kap. IV angegeben, jedesmal unter Berücksichtigung des
Gruppentypus als Aufspaltung von @/3l. Das Gesamtprodukt ergibt
dann einen Körper mit der Gruppe
Lassen sich überhaupt passende Primärkörper angeben, so führt
diese Konstruktionsmethode sicher zum Ziel, da die Auswahl des maxi-
malen Abelschen Unterkörpers für die Fortsetzbarkeit der Ringkörper-
konstruktionen nach I, Kap. IV gleichgültig ist, nicht aber für die
Primärkörperkonstruktionen, die deswegen zuerst ausgeführt werden
müssen. Es gibt z. B., wenn wir als Grundkörper den der rationalen
Zahlen wählen, Abelsche Körper vom Typus (l, Z), die schon dadurch,
daß ihre Klassenzahl zu l teilerfremd ist, überhaupt nicht die Eignung
zu einem maximalen Abelschen Unterkörper eines (größeren) Primär-
körpers besitzen.
Wichtig ist auch, daß bei der gegebenen Gliederung der zwei-
stufigen Gruppe Primärgruppen zu jeder Primzahl immer nur als ein-
malige Faktoren eines relativen Produkts auftreten können, während
beliebig hohe Ringgruppenpotenzen vorkommen können. Eine Potenz
eiuer Ringgruppe über dem Kommutatorfaktor behält diesen als Kom-
mutatorfaktor bei; bei der Primärgruppe dehnt die Potenzierung den
Kommutatorfaktor.
Es kommt also tatsächlich nur noch darauf an, für die zweistufigen
Gruppen von Primzahlpotenzordnung Körperkonstruktionen zu finden,
um für jede zweistufige Gruppe eine solche in der Hand zu haben.
Um diese Aufgabe zu vereinfachen, werden im folgenden Kapitel Maxi-
maltypen von Primärgruppen aufgestellt, die alle als Faktorgruppen
aufweisen und nur von wenigen Invarianten abhängen.
II. Reduktion der zweistufigen Gruppe von Primzahlpotenzordnung auf
Maximaltypen.
Es sei eine zweistufige Gruppe S = {Sx, . . . Sm; 31} von Prim-
zahlpotenzordnung vorgelegt. 31 sei ihre Kommutatorgruppe; $x 31,
. . . Sm 31 eine Basis für den Kommutatorfaktor. Ist Ord (8^ 31) -
Z\ Ord(^)=ZÄX so gilt
Zuerst kann man @ als Faktorgruppe einer Primärgruppe <£) -
{Sx, . . . Sm; 3U } darstellen, in der Ord (8U) = Ord 3lz) = l!1 |M
gilt. Das Entsprechende gilt sogar, wenn überhaupt @/3I eine Abelsche,
31 eine beliebige Gruppe ist. Ist nämlich ® S2a'2 . . . Sma,n 31,
so kann man eine Gruppe: § = 2 ~S22 ... ~Smam 31' ansetzen,