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https://doi.org/10.11588/diglit.43587#0010
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Ahnold Scholz:
in der die Elemente von 21' denen von 31 eindeutig isomorph zu-
geordnet sind und jedes ö’/f (//. =1, ... m) dieselbe Ordnung hat
wie Sa in @, zugleich aber Ord 31') = Ord = Ord (S/z) ist,
so daß Sf( "unabhängig’ von 31' wird, und für die folgendes Komposi-
tionsgesetz gilt: es soll
n sfr ■ A[-n A'2 = n sfr+^ A'
sein, wenn in @ die Gleichung gilt:
n sfr a ■ n sfr A2 = n sfr+^ a.
Hierbei seien Aß, Asi Elemente von 31, ebenfalls dann das durch die
übrigen Elemente der Gleichung in @ bestimmte Element A, und es
seien A{, A2, A' in 3T die zugeordneten Elemente zu Ai,Az,A.
Dieses Kompositionsgesetz macht !q wirklich zur Gruppe:
1. Es ordnet je zwei Elementen von § eindeutig ein drittes zu;
denn die hier gewählte Schreibweise der Elemente von § läßt nur eine
Abänderung der Exponenten der Sl( um Vielfache ihrer Ordnung zu.
Da nun Ord (S„) = Ord ($„) gilt, so wird hierdurch das nicht allein
von Ai, Az, sondern auch von den auftretenden Potenzen der SH ab-
hängige Element A der Gleichung in @ nicht abgeändert.
2. Es gilt das assoziative Gesetz. Ist:
(77 sV -A'^nsfr -A'^-nsfr A'„ = n sfr+f»+• a>,
77 sfr ■Al-(nsfr-A'1.n sfr -A^nsfr + • a„
so folgt: A[ = A'5, da die entsprechenden Gleichungen auch in @
bestehen.
3. Einheitselement ist das von 3T-
4. Es existiert zu jedem Element ein inverses:
Ist X Lösung der Gleichung: II S^1 • A • II • X — E in
@, so ist II Sfl a‘u ■ X' inverses Element zu II • X in
,^) ist also eine Gruppe, und da die Zuordnung: IIS“^ A' II 8^" A
eine homomorphe ist, ist ® einer Faktorgruppe von § isomorph.
31' wird hier Untergruppe einer Aufspaltung 31 von 31. Die Auf-
spaltung kommt der Gruppe @,31 völlig zugute.
Wendet man diese Aufspaltung auf die obige Primärgruppe an,
so wird jetzt 3T entsprechend die Kommutatorgruppe von denn
einerseits ist &/$[' Abelsch, anderseits entsprechen die Kommutatoren
S~T S,S‘U = Al/{7, und = A^v in 31 und 31' einander, und
Ahnold Scholz:
in der die Elemente von 21' denen von 31 eindeutig isomorph zu-
geordnet sind und jedes ö’/f (//. =1, ... m) dieselbe Ordnung hat
wie Sa in @, zugleich aber Ord 31') = Ord = Ord (S/z) ist,
so daß Sf( "unabhängig’ von 31' wird, und für die folgendes Komposi-
tionsgesetz gilt: es soll
n sfr ■ A[-n A'2 = n sfr+^ A'
sein, wenn in @ die Gleichung gilt:
n sfr a ■ n sfr A2 = n sfr+^ a.
Hierbei seien Aß, Asi Elemente von 31, ebenfalls dann das durch die
übrigen Elemente der Gleichung in @ bestimmte Element A, und es
seien A{, A2, A' in 3T die zugeordneten Elemente zu Ai,Az,A.
Dieses Kompositionsgesetz macht !q wirklich zur Gruppe:
1. Es ordnet je zwei Elementen von § eindeutig ein drittes zu;
denn die hier gewählte Schreibweise der Elemente von § läßt nur eine
Abänderung der Exponenten der Sl( um Vielfache ihrer Ordnung zu.
Da nun Ord (S„) = Ord ($„) gilt, so wird hierdurch das nicht allein
von Ai, Az, sondern auch von den auftretenden Potenzen der SH ab-
hängige Element A der Gleichung in @ nicht abgeändert.
2. Es gilt das assoziative Gesetz. Ist:
(77 sV -A'^nsfr -A'^-nsfr A'„ = n sfr+f»+• a>,
77 sfr ■Al-(nsfr-A'1.n sfr -A^nsfr + • a„
so folgt: A[ = A'5, da die entsprechenden Gleichungen auch in @
bestehen.
3. Einheitselement ist das von 3T-
4. Es existiert zu jedem Element ein inverses:
Ist X Lösung der Gleichung: II S^1 • A • II • X — E in
@, so ist II Sfl a‘u ■ X' inverses Element zu II • X in
,^) ist also eine Gruppe, und da die Zuordnung: IIS“^ A' II 8^" A
eine homomorphe ist, ist ® einer Faktorgruppe von § isomorph.
31' wird hier Untergruppe einer Aufspaltung 31 von 31. Die Auf-
spaltung kommt der Gruppe @,31 völlig zugute.
Wendet man diese Aufspaltung auf die obige Primärgruppe an,
so wird jetzt 3T entsprechend die Kommutatorgruppe von denn
einerseits ist &/$[' Abelsch, anderseits entsprechen die Kommutatoren
S~T S,S‘U = Al/{7, und = A^v in 31 und 31' einander, und