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https://doi.org/10.11588/diglit.43588#0007
Beziehungen zwischen den Grundbegriffen der Topologie. 7
Entweder p ist Hp von 2)1! [dann ist nichts mehr zu beweisen],
oder das ist nicht der Fall; dann haben wir zu zeigen, daß £ Hp von
2Dt2 ist-
Sei 11 eine beliebige Umgebung von p. — Da P nicht Hp von
2)tj ist, so gibt es eine Umgebung ll0 von p, die? abgesehen von p
keinen Punkt mit 2)1 x gemein hat: 2Jli-ll0 =
Weiter gibt es eine Umgebung 23 von p, die 23 <1 U - Uo erfüllt.1)
Da p Hp von 2)1 ist, so ist 23-2)1 unendlich. Da
23-2)1 = (23-2)li) V (23-2)l2) und 23-2)11 wegen 23-2)li^U-2)tj
höchstens einpunktig ist, so muß 23 - 2R2 unendlich sein und wegen
23 - 2Jl2 <1 11 - 2)12 muß also auch 11 — 2Jt2 unendlich sein, d. h. p ist Hp
von 2Jt2.
(Hp 5). Ist jeder Punkt von 21 Hp von 2)1 und p Hp von 21,
so ist p Hp von 2)1.
Sei 11 eine beliebige Umgebung von p. Da p Hp von 21 ist, so
gibt es in 11 wenigstens ein q 4 p aus 21. Wegen q e 11 gibt es eine
Umgebung 23 von q, so daß 23 11 ist.2) Da q Hp von 2)1 ist, so ist
23-2)1 unendlich. Wegen U-2)1 >23-2)1 ist also auch 11-2)1 unend-
lich, d. h. p Hp von 2)1.
Sei jetzt umgekehrt 21 eine Menge von Punkten, in der eine Hp-
Relation zwischen Punkten und Teilmengen von 21 erklärt ist, die den
Sätzen (Hp 1) — (Hp 5) genügt.
Wir definieren jetzt durch (4; 3) des § 1 den Begriff der abge-
schlossenen Menge und durch (3; 2) den der offenen Menge. Dann
beweisen wir:
(T 1). Jeder Punkt p e 2t ist in einer offenen Menge enthalten.
Hierzu beweisen wir einfach:
21 ist offen.
Wäre dies nämlich nicht wahr, so wäre die leere Menge nicht
abgeschlossen, sie besäße einen Hp p. Da aber die leere Menge Teil-
menge einer jeden Menge ist, so wäre wegen (Hp 1) p Hp von jedem
2)1 <121; dies würde also insbesondere für 2)1 = {p}?gelten, was (Hp 2)
widerspricht.
(T 2). Ist 2)1^ (i = 1,2) offen, so ist auch 2)1! - 2)12 offen.
Wegen (3; 2) haben wir zu zeigen:
Ist 2t — 2)li = 21^ abgeschlossen, so ist
21 (2)11 - 2J12) = (2t — 2)1^ V (2t — 2)12) = 21! V 5I2 abgeschlossen.
b Wegen Umgebungsaxiom (B).
2) Wegen Umgebungsaxiom (C).
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Entweder p ist Hp von 2)1! [dann ist nichts mehr zu beweisen],
oder das ist nicht der Fall; dann haben wir zu zeigen, daß £ Hp von
2Dt2 ist-
Sei 11 eine beliebige Umgebung von p. — Da P nicht Hp von
2)tj ist, so gibt es eine Umgebung ll0 von p, die? abgesehen von p
keinen Punkt mit 2)1 x gemein hat: 2Jli-ll0 =
Weiter gibt es eine Umgebung 23 von p, die 23 <1 U - Uo erfüllt.1)
Da p Hp von 2)1 ist, so ist 23-2)1 unendlich. Da
23-2)1 = (23-2)li) V (23-2)l2) und 23-2)11 wegen 23-2)li^U-2)tj
höchstens einpunktig ist, so muß 23 - 2R2 unendlich sein und wegen
23 - 2Jl2 <1 11 - 2)12 muß also auch 11 — 2Jt2 unendlich sein, d. h. p ist Hp
von 2Jt2.
(Hp 5). Ist jeder Punkt von 21 Hp von 2)1 und p Hp von 21,
so ist p Hp von 2)1.
Sei 11 eine beliebige Umgebung von p. Da p Hp von 21 ist, so
gibt es in 11 wenigstens ein q 4 p aus 21. Wegen q e 11 gibt es eine
Umgebung 23 von q, so daß 23 11 ist.2) Da q Hp von 2)1 ist, so ist
23-2)1 unendlich. Wegen U-2)1 >23-2)1 ist also auch 11-2)1 unend-
lich, d. h. p Hp von 2)1.
Sei jetzt umgekehrt 21 eine Menge von Punkten, in der eine Hp-
Relation zwischen Punkten und Teilmengen von 21 erklärt ist, die den
Sätzen (Hp 1) — (Hp 5) genügt.
Wir definieren jetzt durch (4; 3) des § 1 den Begriff der abge-
schlossenen Menge und durch (3; 2) den der offenen Menge. Dann
beweisen wir:
(T 1). Jeder Punkt p e 2t ist in einer offenen Menge enthalten.
Hierzu beweisen wir einfach:
21 ist offen.
Wäre dies nämlich nicht wahr, so wäre die leere Menge nicht
abgeschlossen, sie besäße einen Hp p. Da aber die leere Menge Teil-
menge einer jeden Menge ist, so wäre wegen (Hp 1) p Hp von jedem
2)1 <121; dies würde also insbesondere für 2)1 = {p}?gelten, was (Hp 2)
widerspricht.
(T 2). Ist 2)1^ (i = 1,2) offen, so ist auch 2)1! - 2)12 offen.
Wegen (3; 2) haben wir zu zeigen:
Ist 2t — 2)li = 21^ abgeschlossen, so ist
21 (2)11 - 2J12) = (2t — 2)1^ V (2t — 2)12) = 21! V 5I2 abgeschlossen.
b Wegen Umgebungsaxiom (B).
2) Wegen Umgebungsaxiom (C).
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