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https://doi.org/10.11588/diglit.43588#0008
Reinhold Baer:
Ist nämlich p Hp von 31^ V 9I2, so ist nach (Hp 4) p Hp wenigstens
einer der Mengen 21* und 3I2; o. B. d. A. sei p Hp von 2lj. Da aber
abgeschlossen ist, so ist p e 2Ij <( V 3l2 also pg^ V 3I2, also ist
V 3l2 abgeschlossen. [Nach (4; 3)].
(T 3). Enthält 9h jedem p eine offene, p enthaltende Menge,
so ist 5h offen.
Sei nämlich q ein beliebiger Hp von DI — 5h; entweder gilt qeOt—9h
oder qe5h. Wir haben zu zeigen, daß der zweite Fall nicht eintreten
kann.
Im zweiten Fall gibt es nämlich eine offene Menge 9t, so daß gilt:
q£5l<5Jt.
Dann ist also 5t — 9t abgeschlossen, q $ 51 — 9t(ff 91 — 5h.
Da q Hp von 51 —5h ist, so ist wegen (Hp 1) q auch Hp von
9t — 91 und, da 51 — 5t abgeschlossen ist, so ist q e 51 — 91; Widerspruch!
Also gilt qs9t — 5h, wenn q Hp von 51 — 5h ist, d. h. 51 —5)1 ist
abgeschlossen, 9h ist offen.
(T 4). Ist pj 4 p2, so gibt es offene, p» enthaltende Mengen 5h»
(ä=l,2), so daß 5hx^5h2 = 0 ist.
Wegen (Hp 3) gibt es eine Zerlegung 9t=5t1v9t2, so daß pf
nicht Hp von 9t» ist.
Entstehe 9t» aus 9t» durch Hinzunahme aller Hp von 9t»; wegen
(Hp 5) ist 9t» abgeschlossen: die abgeschlossene Hülle von 5t».
Wir setzen 5h» = 5t — 5t»; dann ist p»e5h», denn pi ist nicht Hp
von 5t». Weiter ist wegen (3; 2) 9h» offen. Schließlich ist
9hx - 9h2 = (5t - 9tx W (5t - 5t2) = 5t - (5tx v 9t2) < 5t - (5tx v 5t2)
= 9t-9t = O,
d. h. 9hx-5h2 = 0.
Nun hat aber Tietze1) gezeigt, daß die Sätze (T 1) — (T 4) den-
selben Begriff des topologischen Baumes liefern wie Hausdorffs Um-
gebungsaxiome. Also gilt dasselbe von unseren Hp-Axiomen.
Wir haben nun noch zu zeigen, daß sich die von uns in 5t de-
finierte Hp-Relation mit der deckt, die sich ergeben würde, wenn wir
sie vermittels (2; 4) definierten. Wir haben also noch aus (Hp 1) bis
(Hp 5) und (4; 3), (3; 2) den Satz (2; 4) herzuleiten2):
x) Vgl. S. 3 Anm. 2).
2) Ohne dies wäre nur gezeigt, daß sich unser aus (4; 3), (3; 2) ergebender
Offenheitsbegriff' mit dem üblichen deckt, während dasselbe für die Hp-Relation
nicht geleistet wäre, da beim üblichen Aufbau die Hp-Relation durch (2; 4)
definiert wird, während sie bei uns der Ausgangspunkt ist.
Ist nämlich p Hp von 31^ V 9I2, so ist nach (Hp 4) p Hp wenigstens
einer der Mengen 21* und 3I2; o. B. d. A. sei p Hp von 2lj. Da aber
abgeschlossen ist, so ist p e 2Ij <( V 3l2 also pg^ V 3I2, also ist
V 3l2 abgeschlossen. [Nach (4; 3)].
(T 3). Enthält 9h jedem p eine offene, p enthaltende Menge,
so ist 5h offen.
Sei nämlich q ein beliebiger Hp von DI — 5h; entweder gilt qeOt—9h
oder qe5h. Wir haben zu zeigen, daß der zweite Fall nicht eintreten
kann.
Im zweiten Fall gibt es nämlich eine offene Menge 9t, so daß gilt:
q£5l<5Jt.
Dann ist also 5t — 9t abgeschlossen, q $ 51 — 9t(ff 91 — 5h.
Da q Hp von 51 —5h ist, so ist wegen (Hp 1) q auch Hp von
9t — 91 und, da 51 — 5t abgeschlossen ist, so ist q e 51 — 91; Widerspruch!
Also gilt qs9t — 5h, wenn q Hp von 51 — 5h ist, d. h. 51 —5)1 ist
abgeschlossen, 9h ist offen.
(T 4). Ist pj 4 p2, so gibt es offene, p» enthaltende Mengen 5h»
(ä=l,2), so daß 5hx^5h2 = 0 ist.
Wegen (Hp 3) gibt es eine Zerlegung 9t=5t1v9t2, so daß pf
nicht Hp von 9t» ist.
Entstehe 9t» aus 9t» durch Hinzunahme aller Hp von 9t»; wegen
(Hp 5) ist 9t» abgeschlossen: die abgeschlossene Hülle von 5t».
Wir setzen 5h» = 5t — 5t»; dann ist p»e5h», denn pi ist nicht Hp
von 5t». Weiter ist wegen (3; 2) 9h» offen. Schließlich ist
9hx - 9h2 = (5t - 9tx W (5t - 5t2) = 5t - (5tx v 9t2) < 5t - (5tx v 5t2)
= 9t-9t = O,
d. h. 9hx-5h2 = 0.
Nun hat aber Tietze1) gezeigt, daß die Sätze (T 1) — (T 4) den-
selben Begriff des topologischen Baumes liefern wie Hausdorffs Um-
gebungsaxiome. Also gilt dasselbe von unseren Hp-Axiomen.
Wir haben nun noch zu zeigen, daß sich die von uns in 5t de-
finierte Hp-Relation mit der deckt, die sich ergeben würde, wenn wir
sie vermittels (2; 4) definierten. Wir haben also noch aus (Hp 1) bis
(Hp 5) und (4; 3), (3; 2) den Satz (2; 4) herzuleiten2):
x) Vgl. S. 3 Anm. 2).
2) Ohne dies wäre nur gezeigt, daß sich unser aus (4; 3), (3; 2) ergebender
Offenheitsbegriff' mit dem üblichen deckt, während dasselbe für die Hp-Relation
nicht geleistet wäre, da beim üblichen Aufbau die Hp-Relation durch (2; 4)
definiert wird, während sie bei uns der Ausgangspunkt ist.