DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43588#0009
Beziehungen zwischen den Grundbegriffen der Topologie.
9
A. Angenommen, p ist nicht Hp von 991 <91. Sei
= TI (TI f p|) und 991x die abgeschlossene Hülle von 99lr Dann ist
und 99lj abgeschlossen (vgl. den Beweis von (T 4)). Also ist
JjsOi — 991!, einer offenen Menge, die nach Konstruktion keinen von p
verschiedenen Punkt mit 991 gemein hat.
B. Angenommen, p ist Hp von 991, und sei £ e91, einer offenen
Menge.
991 = (Wt - 91) v (991 - [9t - 91]) = 991x v 9912.
91 — 91 ist abgeschlossen, £#91 — 91, also p nicht Hp von 9t — 91-
Wegen (Hp 1) kann p auch nicht Hp von 9912 = 991 (91 — 91) < 9t — 91
sein. Wegen (Hp 4) ist also p Hp von 9911 = 991^91- Wegen (Hp 2)
besteht also 991 91 nicht nur aus einem Element, woraus sich vermöge
(Hp 4) ergibt, daß 991 91 eine unendliche Menge ist.
Wäre nämlich 991^91 endlich, d. h. 991 ° 91 = { .., pn }, so wäre
diese Menge zerlegbar in: {Pi}v^p2, •••’ P«}- 19a P nicht Hp der
ersten Menge sein kann (wegen (Hp 2)), so ist p wegen (Hp 4) Hp
der zweiten Menge. So weiter schließend käme man zu einem Wider-
spruch.
Unabhängigkeit der Hp-Axiome.
Ad (Hp 1): 91 = { px, p2, ..., Pn> • • •} • Pi ist Hp von jeder px nicht
enthaltenden, unendlichen Teilmenge von 91. pn mit ist Hp
keiner Teilmenge von 91.
Dann ist px Hp echter Teilmengen von 91, aber nicht Hp von 9t
d. h. (Hp 1) ist nicht erfüllt. Dagegen sind (Hp 2) — (Hp 5) erfüllt,
wie man sofort verifiziert.
Ad (Hp 2): 9t = •{ p }; p ist Hp von 91, aber nicht der leeren
Menge.
Ad (Hp 3): 9t={px, p2, . . . , pw, ...]>. pj und p2 sind
Hp jeder unendlichen Teilmenge von 91. Sonst besteht die Hp-Ke-
lation nicht.
Wie wir auch 91 zerlegen: 9t = 911\/9i2, stets ist eine der beiden
Mengen 9ta und 912 unendlich und dann also sowohl p2 als auch p2
Hp dieser Menge. Also ist (Hp 3) für 991 = 91 nicht erfüllt, während
man die Erfülltheit der übrigen Postulate wieder leicht verifiziert.
Ad (Hp 4): 9t = {p!, p2, . . \)n, . . . }. px ist dann und nur
dann Hp von 991 <X 91, wenn 991 fast alle Punkte pn enthält. Sonst
bestehe niemals die Hp-Relation.
Enthalte 91i<91 (i = 1,2) alle pn mit n = i mod 2. Dann ist
91 = 91! V 9i2, aber px weder Hp von 91! noch von 9i2. Die übrigen
Axiome verifiziert man wieder leicht.
9
A. Angenommen, p ist nicht Hp von 991 <91. Sei
= TI (TI f p|) und 991x die abgeschlossene Hülle von 99lr Dann ist
und 99lj abgeschlossen (vgl. den Beweis von (T 4)). Also ist
JjsOi — 991!, einer offenen Menge, die nach Konstruktion keinen von p
verschiedenen Punkt mit 991 gemein hat.
B. Angenommen, p ist Hp von 991, und sei £ e91, einer offenen
Menge.
991 = (Wt - 91) v (991 - [9t - 91]) = 991x v 9912.
91 — 91 ist abgeschlossen, £#91 — 91, also p nicht Hp von 9t — 91-
Wegen (Hp 1) kann p auch nicht Hp von 9912 = 991 (91 — 91) < 9t — 91
sein. Wegen (Hp 4) ist also p Hp von 9911 = 991^91- Wegen (Hp 2)
besteht also 991 91 nicht nur aus einem Element, woraus sich vermöge
(Hp 4) ergibt, daß 991 91 eine unendliche Menge ist.
Wäre nämlich 991^91 endlich, d. h. 991 ° 91 = { .., pn }, so wäre
diese Menge zerlegbar in: {Pi}v^p2, •••’ P«}- 19a P nicht Hp der
ersten Menge sein kann (wegen (Hp 2)), so ist p wegen (Hp 4) Hp
der zweiten Menge. So weiter schließend käme man zu einem Wider-
spruch.
Unabhängigkeit der Hp-Axiome.
Ad (Hp 1): 91 = { px, p2, ..., Pn> • • •} • Pi ist Hp von jeder px nicht
enthaltenden, unendlichen Teilmenge von 91. pn mit ist Hp
keiner Teilmenge von 91.
Dann ist px Hp echter Teilmengen von 91, aber nicht Hp von 9t
d. h. (Hp 1) ist nicht erfüllt. Dagegen sind (Hp 2) — (Hp 5) erfüllt,
wie man sofort verifiziert.
Ad (Hp 2): 9t = •{ p }; p ist Hp von 91, aber nicht der leeren
Menge.
Ad (Hp 3): 9t={px, p2, . . . , pw, ...]>. pj und p2 sind
Hp jeder unendlichen Teilmenge von 91. Sonst besteht die Hp-Ke-
lation nicht.
Wie wir auch 91 zerlegen: 9t = 911\/9i2, stets ist eine der beiden
Mengen 9ta und 912 unendlich und dann also sowohl p2 als auch p2
Hp dieser Menge. Also ist (Hp 3) für 991 = 91 nicht erfüllt, während
man die Erfülltheit der übrigen Postulate wieder leicht verifiziert.
Ad (Hp 4): 9t = {p!, p2, . . \)n, . . . }. px ist dann und nur
dann Hp von 991 <X 91, wenn 991 fast alle Punkte pn enthält. Sonst
bestehe niemals die Hp-Relation.
Enthalte 91i<91 (i = 1,2) alle pn mit n = i mod 2. Dann ist
91 = 91! V 9i2, aber px weder Hp von 91! noch von 9i2. Die übrigen
Axiome verifiziert man wieder leicht.