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https://doi.org/10.11588/diglit.43588#0010
10
Reinhold Baee:
Ad (Hp 5): 9t — ( p (i, k, 1 — 1, 2, ...). p? ist Hp von
jedem 9)1 ^9i, das unendlich viele Elemente enthält und p ist Hp
von jedem 9)1 91, das unendlich viele Elemente pz enthält. Sonst
bestehe die Hp-Relation nie. (Hp 5) ist nicht erfüllt, denn p ist Hp
von {pz}, aber nicht von (i, k,l= 1,2,
Wieder verifiziert man die Erfülltheit von (Hp 1) — (Hp 4) ohne
weiteres.
Bemerkungen.
(Hp 20). Kein Punkt ist Hp der leeren Menge.
Dies haben wir oben beim Beweis von (T 1) aus (Hp 1) und
(Hp 2) hergeleitet. Für Räume, die wenigstens zwei Punkte enthalten,
folgt aber (Hp 20) bereits aus (Hp 1) und (Hp 3).
Denn wäre in einem wenigstens zweipunktigen Raume (Hp 20)
nicht erfüllt, so gäbe es einen Punkt p, der Hp jeder Teilmenge ist;
weiter gäbe es einen Punkt q f p. Ist dann 9t = 9lx V 9i2 irgendeine Zer-
legung unseres Raumes, so ist p sowohl Hp von 9tx als auch von 9t2,
also (Hp 3) für 9)1 = 9t, px = p, p2 = q nicht erfüllt.
Hieraus folgt, daß (Hp 2) und (Hp 20) nicht äquivalent sein
können, da, wie oben gezeigt, (Hp 2) von (Hp 1), (Hp 3) — (Hp 5)
unabhängig ist. [Das dort benutzte Beispiel erfüllte auch (Hp 20).J
Dagegen ist (Hp 3) äquivalent mit
(Hp 30). Ist px 4 p2, so 9^ es ^me Zerlegung des Gesamt-
raumes 9i = 9i1v9i2, so daß p< nicht Hp von 91; ist.
Denn zunächst folgt (Hp 30) aus (Hp 3), indem man speziell
9)1 = 91 wählt.
Ist umgekehrt (Hp 30) wahr und 9)1^91 beliebig, so sei
9)ti=9li^9K («=1,2). Wäre jetzt pi Hp von 9)l<, so wegen (Hp I)
auch von 9iij>9)h, was (Hp 30) widerspricht.
§ 3. Die Axiomatik des Stetigkeitsbegriffs.
Wir betrachten wieder zunächst einen topologischen Raum 9i, den
wir uns durch eine Hp-Relation charakterisiert denken, die (Hp 1) bis
(Hp 5) des § 2 genügt. Durch (4; 5) . des § 1 ist dann der Begriff der
in einem Punkte stetigen Abbildung einer Menge festgelegt. Wir werden
dann hieraus einige Sätze über stetige Abbildungen herleiten, aus denen
wir nachher auf dem im § 1 angedeuteten Wege 5. wieder denselben
Begriff des topologischen Raumes aufbauen werden. Unter Berück-
sichtigung der Ergebnisse des § 2 folgt dann, daß diese Sätze über
stetige Abbildungen ein dem Hausdorff sehen gleichwertiges Axiomen-
system für den Begriff des topologischen Raumes darstellen.
Reinhold Baee:
Ad (Hp 5): 9t — ( p (i, k, 1 — 1, 2, ...). p? ist Hp von
jedem 9)1 ^9i, das unendlich viele Elemente enthält und p ist Hp
von jedem 9)1 91, das unendlich viele Elemente pz enthält. Sonst
bestehe die Hp-Relation nie. (Hp 5) ist nicht erfüllt, denn p ist Hp
von {pz}, aber nicht von (i, k,l= 1,2,
Wieder verifiziert man die Erfülltheit von (Hp 1) — (Hp 4) ohne
weiteres.
Bemerkungen.
(Hp 20). Kein Punkt ist Hp der leeren Menge.
Dies haben wir oben beim Beweis von (T 1) aus (Hp 1) und
(Hp 2) hergeleitet. Für Räume, die wenigstens zwei Punkte enthalten,
folgt aber (Hp 20) bereits aus (Hp 1) und (Hp 3).
Denn wäre in einem wenigstens zweipunktigen Raume (Hp 20)
nicht erfüllt, so gäbe es einen Punkt p, der Hp jeder Teilmenge ist;
weiter gäbe es einen Punkt q f p. Ist dann 9t = 9lx V 9i2 irgendeine Zer-
legung unseres Raumes, so ist p sowohl Hp von 9tx als auch von 9t2,
also (Hp 3) für 9)1 = 9t, px = p, p2 = q nicht erfüllt.
Hieraus folgt, daß (Hp 2) und (Hp 20) nicht äquivalent sein
können, da, wie oben gezeigt, (Hp 2) von (Hp 1), (Hp 3) — (Hp 5)
unabhängig ist. [Das dort benutzte Beispiel erfüllte auch (Hp 20).J
Dagegen ist (Hp 3) äquivalent mit
(Hp 30). Ist px 4 p2, so 9^ es ^me Zerlegung des Gesamt-
raumes 9i = 9i1v9i2, so daß p< nicht Hp von 91; ist.
Denn zunächst folgt (Hp 30) aus (Hp 3), indem man speziell
9)1 = 91 wählt.
Ist umgekehrt (Hp 30) wahr und 9)1^91 beliebig, so sei
9)ti=9li^9K («=1,2). Wäre jetzt pi Hp von 9)l<, so wegen (Hp I)
auch von 9iij>9)h, was (Hp 30) widerspricht.
§ 3. Die Axiomatik des Stetigkeitsbegriffs.
Wir betrachten wieder zunächst einen topologischen Raum 9i, den
wir uns durch eine Hp-Relation charakterisiert denken, die (Hp 1) bis
(Hp 5) des § 2 genügt. Durch (4; 5) . des § 1 ist dann der Begriff der
in einem Punkte stetigen Abbildung einer Menge festgelegt. Wir werden
dann hieraus einige Sätze über stetige Abbildungen herleiten, aus denen
wir nachher auf dem im § 1 angedeuteten Wege 5. wieder denselben
Begriff des topologischen Raumes aufbauen werden. Unter Berück-
sichtigung der Ergebnisse des § 2 folgt dann, daß diese Sätze über
stetige Abbildungen ein dem Hausdorff sehen gleichwertiges Axiomen-
system für den Begriff des topologischen Raumes darstellen.