Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Beziehungen zwischen den Grundbegriffen der Topologie.

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Den Ausgangspunkt bildet der Satz:
(5; 4). Dann und mir dann ist der Punkt p s 501 < Di kein Hp
von 5K, wenn alle [eineindeutigen] Abbildungen von 5K 1j in p stetig sind.
A. Ist p kein Hp von 5K, so wegen (Hp 1) auch kein Hp von
irgendeinem $<501. Ist dann a irgendeine Abbildung von 501, so ist
sie sicher in p stetig [wegen (4; 5)].
B. Sei p ein Hp von 501. Wegen (Hp 2) muß 501 wenigstens
noch einen Punkt p 4 f enthalten. Wegen (Hp 3) gibt es eine Zer-
legung : 501 = 501i V 5K2, so daß p nicht Hp von 501j, p nicht Hp von
5K2 ist. Wegen (Hp 4) ist dann p Hp von 5012-
Wir definieren jetzt eine Abbildung a von 501 auf sich in folgender
Weise:

a(tn) =

m für m 4 p, m 4 p, ms501.
p für tn = p.
p für m = p.

Weiter sei 512 = 5K2 — (5012 { p }), dann ist a (512) = 012 < 501.
Da p Hp von 5012 ist, wie oben gezeigt, aber nach (Hp 2) nicht
Hp von {p}, so ist p sicher nach (Hp 4) Hp von 512. Dagegen ist
p = a (p) wegen (Hp 1) kein Hp von Sl2, da ja p kein Hp von 5012
ist. a ist also zwar eine eineindeutige Abbildung von 501 auf sich,
aber gewiß in p nicht stetig.
Satz (5; 4) gestattet, aut Grund des als bekannt vorausgesetzten
Begriffs der stetigen, bzw. unstetigen Abbildung die Hp-Relation de-
finitorisch einzuführen. Denn aus (5; 4) folgt ja sofort:
Dann und nur dann ist p Hp von DK, wenn es in p unstetige
Abbildungen von 501 [auf sich] gibt.

Wir leiten jetzt die Eigenschaften des Stetigkeitsbegriffs her, die
uns später als Axiome dienen sollen.
(S 1). Ist p £ 51 < DK, ist weiter die Abbildung a von 5K in p
stetig, ist schließlich ß eine Abbildung von 51, die überall in 51 mit a
übereinstimmt [a eine Erweiterung von ß], so ist auch ß in p stetig.
Sei nämlich $<51, dann ist auch $<501; ist dann p Hp von $,
so ist a(p) Hp von a ($). Nun ist aber a(pj = ß (p), a ($) = /?($),
also ist auch ß (p) Hp von ß ($), d. h. ß ist in p stetig.
(S 2). Jede Abbildung der Menge 501 = { p, p } ist in p stetig.
Denn p ist Hp keiner Teilmenge von 501, wie wir beim Beweis
von (2; 4) im § 2 gezeigt haben 1501 ist ja eine endliche Menge],
x) Für diesen Satz genügte es, sich auf Abbildungen von auf sich zu
beschränken; dies würde jedoch im folgenden einige Schwerfälligkeiten in der
Ausdrucks weise nach sich ziehen, die wir vermeiden wollen.