Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Beziehungen zwischen den Grundbegriffen der Topologie. 17
Raumes auf den Begriff der in einen Punkt stetig fortsetzbaren Ab-
bildung zu gründen, indem man ihn nach Aufstellung entsprechender
Axiome wie (S 1) — (S 7) zur Definition der Hp-Relation benutzt.
§ 5. Topologie in Gruppen von topologischen Abbildungen.
Sei 9i ein topologischer Raum und G eine Gruppe topologischer,
d. h. umkehrbar eindeutiger und umkehrbar stetiger Abbildungen von
PI auf sich. Wir wollen dann G in „vernünftiger“ Weise zu einem
topologischen Gruppenraum b machen.
Hierzu haben wir zu erklären, wann ein aeG Hp von einer Teil-
menge j\IGG ist und wann nicht, und haben dann nachzuweisen, daß
diese Hp-Relation (Hp 1) —(Hp 5) des § 2 erfüllt, und daß weiter die
Abbildung x—>axb von G in sich für jedes feste a,b aus G eine
topologische Abbildung von G ist.
Zunächst führen wir eine Bezeichnung ein: Ist p s Pi und M<fG
beliebig, so ist unter M (p) die Menge der Bilder von p bei Abbildungen
aus M zu verstehen.
Definition der Hp-Relation in G.
Dann und nur dann ist aeG Hp von M<jG, wenn es für jede
Zerlegung:
M=Mt\t... v Mn
von M in endlich viele Teile wenigstens ein Mi gibt, so daß für jedes
psPi wenigstens eine der beiden folgenden Aussagen gilt:
entweder a(p) ist Hp von Mi (ff, oder für unendlich viele mHf gilt:
m (p) = a (p).
Wir behaupten:
Dann ist G ein topologischer Gruppenraum.
Beweis: 1. Sei Mf^NffG und a Hp von JA Sei W= V .. .V
eine Zerlegung von N, und zwar sei die Numerierung so vorgenommen,
daß JA-f , Weiter sei Mi = M^N} für 1 <_i<.m;
l + 0 für 1 1
dann ist M = Mx V ... V Mm. Da a Hp von M ist, so gibt es ein
JAy, so daß für alle psPt gilt: entweder a(p) ist Hp von JAy(p), oder
für unendlich viele meMj gilt a(p) = m(p).
Wegen Mj^Nj gilt dann dasselbe für Ny, da ja JAy (p) < Wy (p)
für jedes p £ Pt und in Df (Hp 1) gilt.
Also ist a auch Hp von N und damit (Hp 1) in G nachgewiesen.

b Vgl. S. 4 Anm. *).