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https://doi.org/10.11588/diglit.43588#0020
20
Reinhold Baer :
Zur Vorbereitung werden wir im § 1 unendlich viele, wesentlich
verschiedene Beispiele starrer Bäume [das sind Räume, die als einzige
topologische Abbildung auf sich die identische zulassen] konstruieren.
Diese haben noch insofern ein besonderes Interesse, als sie zeigen, daß
man von der Gruppe aus nicht die Struktur des Raumes bestimmen
kann.1)
1.
Unter sei die Menge der reellen Zahlen: 0<x<l verstanden.
Die rationalen Punkte der Strecke S werden irgendwie abgezählt und
numeriert, jedoch so, daß der Anfangspunkt (x = 0) auch die Nummer 0
erhält.
S stehe in hinreichend vielen Exemplaren zur Verfügung, die durch
ein geeignetes Indexsystem unterschieden werden.
Für jede ganze Zahl n^>l werde der Raum folgendermaßen
konstruiert:
Der Stamm [= Zweig nullter Stufe] sei eine Strecke S = ®0. Von
dem mit i bezeichneten Punkte des Stammes gehen in Zweige erster
Stufe ab: mit 1 <y < U, und zwar wird der Punkt i des Stammes
mit dem Punkte 0 von <5^- identifiziert.
Seien bereits die Zweige k-ter Stufe konstruiert: (£>■ .
h U ■ ■ - hjk-
Dabei ist i^l ganzzahlig, beliebig und 1 V (hJi • • •
An dem Punkt U,, , >1 des Zweiges . . werden durch
Identifikation des mit 0 bezeichneten Punktes des neuen Zweiges mit dem
Punkt ik +1 im ganzen fi1j1... ikjkik + x)w neue Zweige
angefügt: 1 < ile+ x ganzzahlig, beliebig und 1 <]k+1 U (mx • • . U-Ä 4 + iF
Sind so durch die vollständige Induktion für jedes 7v> 1 die Zweige
Ä-ter Stufe konstruiert, so ist der so gebildete Raum unser X,r
Ein Punkt des Stammes heiße ein Punkt nullter Stufe. Ein Punkt
heiße von 7i?-ter Stufe, wenn er auf einem Zweige /r-ter Stufe, aber nicht
(7v—1) -ter Stufe liegt.
b Damit ist folgendes gemeint: Gegeben eine Menge 9i von Elementen
und eine Gruppe G eineindeutiger Abbildungen von 3i auf sich. Gesucht ist
eine solche Erklärung von 9t als topologischer Raum [durch Definition der Offen-
heit, der Hp-Relation oder dergl.], daß G die Gruppe aller topologischen Ab-
bildungen von 91 auf sich ist. Wäre dies nur auf eine Weise möglich, so be-
bestimmte die Gruppe allein die Struktur des Raumes. Unsere Beispiele zeigen,
daß dies nicht zutrifft, nicht einmal, wenn wir vorher G zum topologischen
Gruppenraum machen und fordern, daß diese Topologie von G im Sinne des § 5
die „vernünftige“ rücksichtlich des topologischen Raumes 9i sei.
Reinhold Baer :
Zur Vorbereitung werden wir im § 1 unendlich viele, wesentlich
verschiedene Beispiele starrer Bäume [das sind Räume, die als einzige
topologische Abbildung auf sich die identische zulassen] konstruieren.
Diese haben noch insofern ein besonderes Interesse, als sie zeigen, daß
man von der Gruppe aus nicht die Struktur des Raumes bestimmen
kann.1)
1.
Unter sei die Menge der reellen Zahlen: 0<x<l verstanden.
Die rationalen Punkte der Strecke S werden irgendwie abgezählt und
numeriert, jedoch so, daß der Anfangspunkt (x = 0) auch die Nummer 0
erhält.
S stehe in hinreichend vielen Exemplaren zur Verfügung, die durch
ein geeignetes Indexsystem unterschieden werden.
Für jede ganze Zahl n^>l werde der Raum folgendermaßen
konstruiert:
Der Stamm [= Zweig nullter Stufe] sei eine Strecke S = ®0. Von
dem mit i bezeichneten Punkte des Stammes gehen in Zweige erster
Stufe ab: mit 1 <y < U, und zwar wird der Punkt i des Stammes
mit dem Punkte 0 von <5^- identifiziert.
Seien bereits die Zweige k-ter Stufe konstruiert: (£>■ .
h U ■ ■ - hjk-
Dabei ist i^l ganzzahlig, beliebig und 1 V (hJi • • •
An dem Punkt U,, , >1 des Zweiges . . werden durch
Identifikation des mit 0 bezeichneten Punktes des neuen Zweiges mit dem
Punkt ik +1 im ganzen fi1j1... ikjkik + x)w neue Zweige
angefügt: 1 < ile+ x ganzzahlig, beliebig und 1 <]k+1 U (mx • • . U-Ä 4 + iF
Sind so durch die vollständige Induktion für jedes 7v> 1 die Zweige
Ä-ter Stufe konstruiert, so ist der so gebildete Raum unser X,r
Ein Punkt des Stammes heiße ein Punkt nullter Stufe. Ein Punkt
heiße von 7i?-ter Stufe, wenn er auf einem Zweige /r-ter Stufe, aber nicht
(7v—1) -ter Stufe liegt.
b Damit ist folgendes gemeint: Gegeben eine Menge 9i von Elementen
und eine Gruppe G eineindeutiger Abbildungen von 3i auf sich. Gesucht ist
eine solche Erklärung von 9t als topologischer Raum [durch Definition der Offen-
heit, der Hp-Relation oder dergl.], daß G die Gruppe aller topologischen Ab-
bildungen von 91 auf sich ist. Wäre dies nur auf eine Weise möglich, so be-
bestimmte die Gruppe allein die Struktur des Raumes. Unsere Beispiele zeigen,
daß dies nicht zutrifft, nicht einmal, wenn wir vorher G zum topologischen
Gruppenraum machen und fordern, daß diese Topologie von G im Sinne des § 5
die „vernünftige“ rücksichtlich des topologischen Raumes 9i sei.