Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baer:

Daß aber für n J m ein sich nicht topologisch auf ein Tm
abbilden läßt, folgt aus der Tatsache, daß nicht gleichzeitig sowohl jede
Zahl, die w-te Potenz ist, auch m-te Potenz, als auch jede Zahl, die
m-te Potenz ist, auch n-te Potenz sein kann. Man betrachte nämlich
die Punkte nullter Stufe, von denen genau in bzw. im Zweige abgehen,
und die ja wieder in Punkte nullter Stufe übergehen müssen.
ist metrisierbar.
Denn irgend zwei Punkte sind durch einen eindeutig bestimmten,
unverkürzbaren Streckenzug verbunden, der eine bestimmte Länge, den
Abstand dieser Punkte, hat.
Der %n genügt dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
Denn im ist eine abzählbare Menge, die Menge der benannten
Punkte, überall dicht und der %n ist metrisierbar.
Der %n ist in jedem Punkte eindimensional.
Denn jeder Punkt läßt sich in jedei- Nähe durch eine häufungs-
punktfreie, höchstens abzählbare, also nulldimensionale Menge [irgend
zwei verschiedene Punkte dieser Menge liegen auf verschiedenen Zweigen]
vom Pest abtrennen.
Nach einem Menger scheu Satz1) läßt sich also der topologisch
auf einen Teil des dreidimensionalen Euklidischen Raumes abbilden.
Übrigens hätte sich unsere Konstruktion des %n ohne große Schwierig-
keit so einrichten lassen, daß der als Teilmenge des dreidimen-
sionalen Euklidischen Raumes gewonnen wäre; es hätten nämlich die
Längen der Zweige nur hinreichend rasch mit der Stufenzahl gegen
Null streben müssen.
2.
Sei G eine höchstens abzählbare Gruppe, f, l2,... deren [endlich
oder abzählbar unendlich viel] Erzeugende. Dann ist G isomorph zur
Gruppe der „Deckbewegungen“ des Dehn sehen Gruppenbildes2) von G.
An jedem „Eckpunkt“ [das sind die Repräsentanten der Gruppen-
elemente, während die „Kanten“ Repräsentanten der Erzeugenden sind]
werden abzählbar viele Exemplare des mit dem Nullpunkt an-
gehängt. Jede mit bezeichnete Kante wird durch einen +1 ersetzt,
und zwar derart, daß der Nullpunkt des £i + 1 mit dem Anfangspunkt
der mit bezeichneten Kante identifiziert wird, während der Endpunkt
dieser Kante als [neuer] Endpunkt des Stammes des dient.
So entsteht ein in jedem Punkte eindimensionaler, metrisierbarer,
dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom genügender Daum ($, der also auf
*) Vgl. K. Menger: Dimensionstheorie, Berlin u. Leipzig 1928, S. 295/96.
2) Vgl. M. Dehn: Math. Ann. Bd. 69 (1910) S. 140ff.