Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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F. Gruber:

Aus der Kongruenz der Dreiecke C7)T? und BHE folgt BE=CE,
w. z. b. w. (Fig. 1).


Diesen Hilfssatz vorausgesetzt, folgt aus der Gültigkeit des zu be-
weisenden Schnittpunktsatzes für gleichschenklige Dreiecke seine all-
gemeine Gültigkeit mittelst eines Projektionsverfahrens auf folgende
Weise:
Sei ABC' ein beliebiges Dreieck, ABC irgendein gleichschenkliches
Dreieck (AC=BC) in einer andern Ebene. Sei dann MP die Mittel-
senkrechte der Seite CC' des Dreiecks ACC und MQ die Mittelsenk-
rechte von CC' in dem Dreiecke BCC', ferner D und E die Mitten
der Seiten AC und BC. Infolge des Hilfssatzes gehen die Lote von
D resp. E auf MP resp. MQ durch die Mitten D' resp. E' der Seiten
AC' resp. BC.
CC', DD' und EE' stehen — wie leicht zu sehen — sämtlich auf
der Ebene PMQ, der Symmetrieebene von CC’, senkrecht. Nun wird
durch Projektionsstrahlen, welche sämtlich auf einer Ebene senkrecht
stehen, zwischen zwei Ebenen eine kollineare Beziehung hergestellt.
Das Dreieck ABC läßt sich als das Projektionsbild des gleichschenk-
ligen Dreiecks ABC auffassen, wobei — wie aus den obigen Betrach-
tungen hervorgeht, die Transversalen AE', BD', CF die Bilder der
Transversalen AE, BD, CF darstellen.
Da nun im gleichschenkligen Dreieck — wie leicht zu zeigen ist —
die Transversalen von den Ecken nach den Seitenmitten der Gegen-
seiten einen gemeinsamen Schnittpunkt haben, muß dies also auch in
einem beliebigen Dreieck der Fall sein.