DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43593#0003
Über die Existenz der Lösungen von Systemen
gewöhnlicher Differentialgleichungen.
1. Durch verschiedene Methoden und von verschiedenen Mathe-
matikern ist bekanntlich die Existenz der Lösungen des Systems
(D
bewiesen worden, wenn die fv (x, yv . .., y^) stetige Funktionen sind.1)
In den allgemeinsten Fällen unstetiger fv muß erst festgesetzt werden,
was unter einer Lösung des Systems (1) verstanden werden soll. Zwei
solche Festsetzungen sind gegeben worden (die für stetige fv mit dem
Üblichen übereinstimmen):
a) Als Lösungen der Differentialgleichungen (1) werden die Lösungen
der zugehörigen Integralgleichungen bezeichnet. So verfahren Herr
Ch.-J. de la Vallee Poussin2), der als erster unstetige fv in Betracht
gezogen hat, und Herr C. Caratheodory 3 4). Die Methode des Herrn
de la Vallee Poussin besteht in einer Nachbildung der Riemannschen
Integraldefinition und sie ist, wie er nachweist, völlig gleichwertig mit
der Lösung der dem System (1) zugehörigen Integralgleichungen. Herr
Caratheodory geht — mit Benutzung des Lebesgueschen Integral-
begriffs — direkt von (1) zu den entsprechenden Integralgleichungen
über und sucht deren Lösungen; die Existenz derselben wird von
ihm unter geeigneten Meßbarkeits- und Stetigkeitsvoraussetzungen über
die fvi') mittels einer Methode ausgewählter approximierender Treppen-
*) Vgl. den Bericht von M. Müller, Neuere Untersuchungen über den Fun-
damentalsatz in der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, Jahresber.
Dtsch. Math.-Ver. 37 (1928), S. 33—48.
2) Ch.-J. de la Vallee Poussin, Memoire sur l’integration des equations
differentielles, Mem. cour. Acad. Bruxelles (in 8°) 47 (1892/93), 82 S.
3) C. Caratheodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, Leipzig und Berlin
1918 (2. Aufl. 1927), S. 665—672.
4) Dabei kann man übrigens noch nachträglich in einer Nullmönge von
«-Werten auf jede Voraussetzung verzichten.
Besonders einschneidend ist Caratheodory s Bedingung, daß fv («, yr,..., yn)
für konstante « in (i/x,. .., yn) stetig sein soll. Daß man jedoch über diese Be-
1*
gewöhnlicher Differentialgleichungen.
1. Durch verschiedene Methoden und von verschiedenen Mathe-
matikern ist bekanntlich die Existenz der Lösungen des Systems
(D
bewiesen worden, wenn die fv (x, yv . .., y^) stetige Funktionen sind.1)
In den allgemeinsten Fällen unstetiger fv muß erst festgesetzt werden,
was unter einer Lösung des Systems (1) verstanden werden soll. Zwei
solche Festsetzungen sind gegeben worden (die für stetige fv mit dem
Üblichen übereinstimmen):
a) Als Lösungen der Differentialgleichungen (1) werden die Lösungen
der zugehörigen Integralgleichungen bezeichnet. So verfahren Herr
Ch.-J. de la Vallee Poussin2), der als erster unstetige fv in Betracht
gezogen hat, und Herr C. Caratheodory 3 4). Die Methode des Herrn
de la Vallee Poussin besteht in einer Nachbildung der Riemannschen
Integraldefinition und sie ist, wie er nachweist, völlig gleichwertig mit
der Lösung der dem System (1) zugehörigen Integralgleichungen. Herr
Caratheodory geht — mit Benutzung des Lebesgueschen Integral-
begriffs — direkt von (1) zu den entsprechenden Integralgleichungen
über und sucht deren Lösungen; die Existenz derselben wird von
ihm unter geeigneten Meßbarkeits- und Stetigkeitsvoraussetzungen über
die fvi') mittels einer Methode ausgewählter approximierender Treppen-
*) Vgl. den Bericht von M. Müller, Neuere Untersuchungen über den Fun-
damentalsatz in der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, Jahresber.
Dtsch. Math.-Ver. 37 (1928), S. 33—48.
2) Ch.-J. de la Vallee Poussin, Memoire sur l’integration des equations
differentielles, Mem. cour. Acad. Bruxelles (in 8°) 47 (1892/93), 82 S.
3) C. Caratheodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, Leipzig und Berlin
1918 (2. Aufl. 1927), S. 665—672.
4) Dabei kann man übrigens noch nachträglich in einer Nullmönge von
«-Werten auf jede Voraussetzung verzichten.
Besonders einschneidend ist Caratheodory s Bedingung, daß fv («, yr,..., yn)
für konstante « in (i/x,. .., yn) stetig sein soll. Daß man jedoch über diese Be-
1*