DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43593#0004
4
A. Rosenthal :
polygone nachgewiesen.* * * * 5) — Für die Differentialgleichungen (1) bedeutet
dieser Übergang zu den Integralgleichungen: Es sollen totalstetige
Funktionen yv (x) (p = 1, n) gesucht werden, deren Ableitungen
[welche fast überall existieren6)] den Funktionen fv (x, yx (x), .. ., yn (&))
fast überall gleich sind.
b) Abweichend davon bezeichnet Herr M. Nagumo7) ein System
von stetigen Funktionen yv{x) als Lösung von (1),
wenn für deren vier Hauptderivierte durchweg (im betrachteten Be-
reich) die Ungleichungen
(2) /■„ (x, yx (%), ...,yn (U) > D ± yv («) 2 ü, (x, yx (x), ..yn(x))
gelten, wobei fv (x,y1} ..., y^ bzw. fv (x,yv . . .,yn} die obere bzw.
untere Limesfunktion von/), ..., yw) bedeuten. Herr Nagumo
beweist in diesem Sinn die Existenz der Lösungen von (1) mit vor-
gegebenen Anfangswerten in geeignetem Bereich, wenn die fv als be-
schränkt vorausgesetzt werden. — Es sei noch erwähnt, daß bei
beschränkten fv auch die fv und fv beschränkt sind, und daß deshalb6)
wegen
üZ'Z/
(2) die Ableitungen fast überall existieren und ferner7a)
die yv(x) auch totalstetig sind.
Die nachfolgenden Bemerkungen wollen die Nagumo sehe Definition
verschärfen und sein Resultat auf nicht-beschränkte fv verall-
gemeinern.
2. Herr Nagumo 8) weist selbst darauf hin, daß man nicht weit
von dem gewöhnlichen Sinn des Integralsystems von (1) abweicht,
dingung nicht wesentlich hinausgehen und nicht einmal Stetigkeit durch Halb-
stetigkeit ersetzen kann, sieht man aus den allereinfachsten Beispielen, etwa:
y\ wobei f(x, y) = 0 für y 4= 0
dX =1 für */= 0;
hier gibt es durch keinen Punkt der x- Achse eine Integralkurve im Sinn von
Caratheodory.
5) Die Resultate des Herrn Caratheodory sind [bei Berücksichtigung des
Anfangs von 4)1 wegen der Verwendung Lebesguescher Integrale und der Zu-
lassung nicht-beschränkter fv umfassender als die des Herrn de la Vallee Poussin.
°) Vgl. etwa Encykl. d. Math. Wiss. II C 9 b, S. 1092/93.
7) M. Nagumo, Über das System der gewöhnlichen Differentialgleichungen,
Japanese Journ. of Math. 4 (1927), S. 215—230.
7 a) Weil man von beschränkten Derivierten durch Lebesguesche Integration
zu den primitiven Funktionen gelangt.
8) a. a. 0., S. 215 Fufin. 2).
A. Rosenthal :
polygone nachgewiesen.* * * * 5) — Für die Differentialgleichungen (1) bedeutet
dieser Übergang zu den Integralgleichungen: Es sollen totalstetige
Funktionen yv (x) (p = 1, n) gesucht werden, deren Ableitungen
[welche fast überall existieren6)] den Funktionen fv (x, yx (x), .. ., yn (&))
fast überall gleich sind.
b) Abweichend davon bezeichnet Herr M. Nagumo7) ein System
von stetigen Funktionen yv{x) als Lösung von (1),
wenn für deren vier Hauptderivierte durchweg (im betrachteten Be-
reich) die Ungleichungen
(2) /■„ (x, yx (%), ...,yn (U) > D ± yv («) 2 ü, (x, yx (x), ..yn(x))
gelten, wobei fv (x,y1} ..., y^ bzw. fv (x,yv . . .,yn} die obere bzw.
untere Limesfunktion von/), ..., yw) bedeuten. Herr Nagumo
beweist in diesem Sinn die Existenz der Lösungen von (1) mit vor-
gegebenen Anfangswerten in geeignetem Bereich, wenn die fv als be-
schränkt vorausgesetzt werden. — Es sei noch erwähnt, daß bei
beschränkten fv auch die fv und fv beschränkt sind, und daß deshalb6)
wegen
üZ'Z/
(2) die Ableitungen fast überall existieren und ferner7a)
die yv(x) auch totalstetig sind.
Die nachfolgenden Bemerkungen wollen die Nagumo sehe Definition
verschärfen und sein Resultat auf nicht-beschränkte fv verall-
gemeinern.
2. Herr Nagumo 8) weist selbst darauf hin, daß man nicht weit
von dem gewöhnlichen Sinn des Integralsystems von (1) abweicht,
dingung nicht wesentlich hinausgehen und nicht einmal Stetigkeit durch Halb-
stetigkeit ersetzen kann, sieht man aus den allereinfachsten Beispielen, etwa:
y\ wobei f(x, y) = 0 für y 4= 0
dX =1 für */= 0;
hier gibt es durch keinen Punkt der x- Achse eine Integralkurve im Sinn von
Caratheodory.
5) Die Resultate des Herrn Caratheodory sind [bei Berücksichtigung des
Anfangs von 4)1 wegen der Verwendung Lebesguescher Integrale und der Zu-
lassung nicht-beschränkter fv umfassender als die des Herrn de la Vallee Poussin.
°) Vgl. etwa Encykl. d. Math. Wiss. II C 9 b, S. 1092/93.
7) M. Nagumo, Über das System der gewöhnlichen Differentialgleichungen,
Japanese Journ. of Math. 4 (1927), S. 215—230.
7 a) Weil man von beschränkten Derivierten durch Lebesguesche Integration
zu den primitiven Funktionen gelangt.
8) a. a. 0., S. 215 Fufin. 2).