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https://doi.org/10.11588/diglit.43593#0006
6
A. Rosenthal:
Sind die /** und f* durchweg beschränkt (oder auch nur durchweg
endlich), so existieren wieder 6) wegen (4) fast überall die Ablei-
dyv
tungen .
CvOC
Da ebenso wie fv und fv auch /** und nach oben bzw. unten
halbstetig sind [vgl. 9)j, so lassen sich die Überlegungen des Herrn
Nagumo (a. a. ()., S. 218—221) wörtlich wiederholen [vgl. auch n)J, und
man erhält das analoge Resultat, daß nämlich das Differential-
gleichungssystem (1) wieder in dem bei Nagumo (S. 218)
angegebenen Bereich Lösungen mit vorgeschriebenen
Anfangs werten im verschärften Sinne (4) besitzt, wenn
die fv{x,yv...,yn) beschränkt sind; oder auch, was weniger
fordert, wenn die /* und beschränkt sind.
Bei dem obigen Beispiel ergibt sich überall f*=f* = 0; also sind
die einzigen Lösungen: y = const.10)
3. Um nachher nicht-beschränkte fv behandeln zu können, soll
zuerst der Hilfsatz 3 von Nagumo (S. 216/18), der dort für stetige
Funktionen formuliert ist, auf halbstetige Funktionen verall-
gemeinert werden.
R bezeichne den Bereich | x — x0 | <( l, | yv —y^ (v — 1,..., w);
J sei irgendein offenes oder abgeschlossenes Teilintervall von [&'o — 1,
Hilfsatz: Es sei ein System von Folgen stetiger Funktionen
(v = 1,..., n; t= 1,2,3,....') gegeben, die bzw. deren obere Deri-
vierte im Intervall J den Ungleichungen
(6) \y^\x)-y°v\^7c
(7) D± ?/(,%) <1 (x,y^\x),..., y„\x)) (v = 1,.. .,n)
genügen, wobei die Funktionen d^v{x,y1,...,?/„) in B nach oben
halbstetig sind. Konvergiert jede Folge {y^\x) } in J gleichmäßig
gegen eine (stetige) Funktion yv(x) (v—l,...,n), so bestehen auch die
Ungleichungen
(8) («),...,«/„(«)) (v=l, ...,n)
in J. —
lü) In Übereinstimmung mit der Methode von Caratiieodory.
n) Auch im^Hilfsatz 3 von Nagumo ist entsprechend „offenes Teilintervall“
durch „offenes oder abgeschlossenes Teilintervall“ zu ersetzen; letzteres wird
nämlich am Schluß des Beweises von „Satz 1“ (a. a. 0., S. 221) benötigt.
A. Rosenthal:
Sind die /** und f* durchweg beschränkt (oder auch nur durchweg
endlich), so existieren wieder 6) wegen (4) fast überall die Ablei-
dyv
tungen .
CvOC
Da ebenso wie fv und fv auch /** und nach oben bzw. unten
halbstetig sind [vgl. 9)j, so lassen sich die Überlegungen des Herrn
Nagumo (a. a. ()., S. 218—221) wörtlich wiederholen [vgl. auch n)J, und
man erhält das analoge Resultat, daß nämlich das Differential-
gleichungssystem (1) wieder in dem bei Nagumo (S. 218)
angegebenen Bereich Lösungen mit vorgeschriebenen
Anfangs werten im verschärften Sinne (4) besitzt, wenn
die fv{x,yv...,yn) beschränkt sind; oder auch, was weniger
fordert, wenn die /* und beschränkt sind.
Bei dem obigen Beispiel ergibt sich überall f*=f* = 0; also sind
die einzigen Lösungen: y = const.10)
3. Um nachher nicht-beschränkte fv behandeln zu können, soll
zuerst der Hilfsatz 3 von Nagumo (S. 216/18), der dort für stetige
Funktionen formuliert ist, auf halbstetige Funktionen verall-
gemeinert werden.
R bezeichne den Bereich | x — x0 | <( l, | yv —y^ (v — 1,..., w);
J sei irgendein offenes oder abgeschlossenes Teilintervall von [&'o — 1,
Hilfsatz: Es sei ein System von Folgen stetiger Funktionen
(v = 1,..., n; t= 1,2,3,....') gegeben, die bzw. deren obere Deri-
vierte im Intervall J den Ungleichungen
(6) \y^\x)-y°v\^7c
(7) D± ?/(,%) <1 (x,y^\x),..., y„\x)) (v = 1,.. .,n)
genügen, wobei die Funktionen d^v{x,y1,...,?/„) in B nach oben
halbstetig sind. Konvergiert jede Folge {y^\x) } in J gleichmäßig
gegen eine (stetige) Funktion yv(x) (v—l,...,n), so bestehen auch die
Ungleichungen
(8) («),...,«/„(«)) (v=l, ...,n)
in J. —
lü) In Übereinstimmung mit der Methode von Caratiieodory.
n) Auch im^Hilfsatz 3 von Nagumo ist entsprechend „offenes Teilintervall“
durch „offenes oder abgeschlossenes Teilintervall“ zu ersetzen; letzteres wird
nämlich am Schluß des Beweises von „Satz 1“ (a. a. 0., S. 221) benötigt.