Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

A. Rosenthal:

Läßt man nun zuerst t —> os wachsen und darnach li —> 0 und
schließlich auch e —> 0 konvergieren (bzw. — N gehen), so er¬
gibt sich:
(18) ?/n(a;1)) (v = l,...,n).

4. Wir wollen nun den Existenzsatz von Nagumo bzw. seine Ver-
schärfung von Nr. 2 unter geeigneten Voraussetzungen auf nicht-
beschränkte fv verallgemeinern. [Übrigens ist zu beachten, daß bereits
die in Nr. 2 angegebene Bedingung der Beschränktheit von f* und /*
nicht-beschränkte fv zuläßt.|

Satz: Bestehen für \x — | < Z und für alle yi,-..,yn Oie
U n g 1 e i c h u n g e n

(19)

| /_y !) n) I J



wobei M (,r) eine s u m m i e r b a r e Funktion bedeutet, dann
gibt es im Intervall £ — <5 x g + d (wo | £ — a?0 | < 2< l und
d<Z — A) mindestens ein Integralsystem von (1) im Sinne (4)
mit den Anfangs werten yv (£) — yv (v=l,...,n); [dabei sind
die 7?;, beliebige endliche Zahlen].
Zusatz: Derselbe Satz und der nachfolgende Beweis gelten für
den ursprünglichen Nagumo sehen Begriff (2) des Integralsystems, wenn
man (19) durch

(20)

I fv Vl) • • •> Vn) i | , 717 / '
. . > < AZ («
I / v v» • • •’ yn) IJ

(r= 1, ...,n)

ersetzt, wobei wieder _Z)1(F) eine summierbare Funktion bedeute.
Man beachte, daß nicht nur die Nagumosehe Definition (2) weniger
scharf ist als (4), sondern daß auch die Voraussetzung (20) wegen (5)
mehr verlangt als (19). Wir beweisen deshalb den Satz gleich in der
angegebenen schärferen Fassung.

Beweis des Satzes: Es sei

(21)

/’M _
/ v

fv, wenn | fv | < s
s> n fv s
„ fv ü; $

und zwar für s = 1,2, 3, Wir betrachten nun für jedes s das
System der Differentialgleichungen


(22)

(r= 1,..., ri).