Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Friedrich Karl Schmidt:

Satz 1 besagt, daß die bekannten Reduktionseigenschaften der über
K irreduziblen Binome von Primzahlgrad allen über K irreduziblen
und algebraisch auflösbaren Polynomen von Primzahlgrad zukommen
und gerade sie in der Menge aller irreduziblen Polynome charakterisieren.
II. Ist B endliche Erweiterung des endlichen algebraischen Zahl-
körpers1) A, so heißt B algebraisch auflösbar über A. wenn der kleinste B
enthaltende Normalkörper über A eine auflösbare Gruppe über A besitzt.
Die Hauptordnung2 3) von A bzw. B möge mit o bzw. © bezeichnet
werden; dann gilt:
Satz 2. Dann und, nur dann, wenn das Erweiterungsideal?) © • p eines
Primideals p aus o, das in © zerlegbar wird, in © stets entweder
durch genau ein Primideal vom Relativgrad 1 oder aber durch lauter
Primideale vom, Relativgrad 1 teilbar ist, ist B über A algebraisch
auflösbar und. von Prirnzahlgrad.
Ist P(x) ein irreduzibles Polynom über dem endlichen algebraischen
Zahlkörper A. so liefert Anwendung von Satz 2 auf den durch Adjunktion
einer Nullstelle von P(x) aus A erzeugten Körper B ein neues Kriterium
dafür, daß P(x) algebraisch auflösbar und von Primzahlgrad ist. Das
so gewonnene Kriterium unterscheidet sich von dem des Satzes 1 da-
durch, daß jetzt die Charakterisierung durch „innere“ Eigenschaften
des Körpers B erfolgt, während dort das Verhalten von P(x) gegenüber
jeder Erweiterung von K maßgebend war, also mindestens das Ver-
halten von P(x) gegenüber den Unterkörpern des durch Adjunktion
aller Nullstellen von P(x) aus A entstehenden Normalkörpers.
Die Sätze 1 und 2 werden in Abschnitt 3 und 4 dieser Note her-
geleitet. Dabei ergibt sich zugleich:
Satz la. Das über K irreduzible, algebraisch auflösbare Polynom
P( x) von Primzahlgrad besitzt über federn Oberkörper R von K. über
dem es reduzibel wird, eine Zerlegung der Gestalt
P(x) = (x — a) Fr(x) .... Fg(x),
wo die über N irreduziblen Polynome Fi(x) alle den gleichen Grad f
besitzen.
x) Ein algebraischer Zahlkörper wird endlich genannt, wenn er aus dem
Körper der rationalen Zahlen durch Adjunktion endlich vieler algebraischer
Zahlen entsteht.
2) Unter der Hauptordnung eines endlichen algebraischen Zahlkörpers ver-
steht man nach Dedekind den Integritätsbereich aller ganzen algebraischen Zahlen
des betreffenden Zahlkörpers.
3) Das Erweiterungsideal © • p des Primideals p bezüglich © ist das aus
der Menge aller Elemente von p in © abgeleitete Ideal, d. h. das Ideal, das aus
allen endlichen Summen der Gestalt besteht mit aus ©, aus p.