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https://doi.org/10.11588/diglit.43575#0011
Über einen Hauptsatz der allgemeinen Idealtheorie.
Von Wolfgang Krull in Erlangen.
Bekanntlich kann man die Idealtheorie eines kommutativen Ringes
9t, in dem der „Teilerkettensatz“ gilt, auf die Tatsache gründen, daß
in 9t jedes Ideal als Durchschnitt von endlich viel Primäridealen dar-
gestellt werden kann.1) Im folgenden sollen die notwendigen und hin-
reichenden Bedingungen aufgestellt werden, denen 9t genügen muß,
wenn jedes Ideal aus 9t eine Durchschnittsdarstellung der genannten
Art besitzen soll. Die Bedingungen lassen sich auf die Form eines „Doppel-
kettensatzes“ bringen; sie sind naturgemäß schwächer als der Teiler-
kettensatz, der ja bekanntlich für jedes Ideal eine Durchschnittsdar-
stellung durch Primärideale „von endlichem Exponenten“, also durch
spezielle Primärideale, gewährleistet.
Im Anschluß an B. L. v. d. Waerden2) definieren wir die i. K. I.
(isolierten Komponentenideale) eines Ideals u folgendermaßen:
Ist £ ein multiplikativ abgeschlossenes (kurz „m. a.")
System aus 9t, d. h. ein System, das gleichzeitig mit zwei Ele-
menten stets auch deren Produkt enthält, so soll unter dem
„i. K. I. as“ von ci die Gesamtheit der Ringelemente verstanden
werden, deren Produkt mit einem jeweils geeignet gewähl-
ten Element aus $ in a vorkommt.
Es ist zweckmäßig, auch das überhaupt kein Ringelement ent-
haltende „leere System So“ als m. a. anzusehen und ciÄ0 durch die
Gleichung aÄ0 = a zu definieren.3)
Mit Hilfe der i. K. I. können wir die für unsere Untersuchungen
wesentlichen Kettensätze folgendermaßen formulieren:
T) Vgl. E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Annal. 83 (1921)
S. 23 — 67, sowie E. NOETHER, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen
Zahl- und Funktionskörpern, Math. Annal. 96 (1926) S. 36—61. Die zuletzt ge-
nannte Arbeit wird in Zukunft kurz mit ,,N.“ zitiert.
2) Vgl. B. L. VAN DER WAERDEN, Eine Verallgemeinerung des Bezoutschen
Theorems, Math. Annal. 99 (1928) S. 497 —541 (in Zukunft kurz „W.“) §2, sowie
W. Krull, Idealtheorie in Ringbereichen ohne Endlichkeitsbedingung, Math.
Annal. 101 (1929) (in Zukunft kurz „K.“) § 1.
3) Die Festsetzung hat den Wert, daß a stets i. K. I. von sich selbst ist, auch
wenn in 9t kein Einheitselement auf tritt.
Von Wolfgang Krull in Erlangen.
Bekanntlich kann man die Idealtheorie eines kommutativen Ringes
9t, in dem der „Teilerkettensatz“ gilt, auf die Tatsache gründen, daß
in 9t jedes Ideal als Durchschnitt von endlich viel Primäridealen dar-
gestellt werden kann.1) Im folgenden sollen die notwendigen und hin-
reichenden Bedingungen aufgestellt werden, denen 9t genügen muß,
wenn jedes Ideal aus 9t eine Durchschnittsdarstellung der genannten
Art besitzen soll. Die Bedingungen lassen sich auf die Form eines „Doppel-
kettensatzes“ bringen; sie sind naturgemäß schwächer als der Teiler-
kettensatz, der ja bekanntlich für jedes Ideal eine Durchschnittsdar-
stellung durch Primärideale „von endlichem Exponenten“, also durch
spezielle Primärideale, gewährleistet.
Im Anschluß an B. L. v. d. Waerden2) definieren wir die i. K. I.
(isolierten Komponentenideale) eines Ideals u folgendermaßen:
Ist £ ein multiplikativ abgeschlossenes (kurz „m. a.")
System aus 9t, d. h. ein System, das gleichzeitig mit zwei Ele-
menten stets auch deren Produkt enthält, so soll unter dem
„i. K. I. as“ von ci die Gesamtheit der Ringelemente verstanden
werden, deren Produkt mit einem jeweils geeignet gewähl-
ten Element aus $ in a vorkommt.
Es ist zweckmäßig, auch das überhaupt kein Ringelement ent-
haltende „leere System So“ als m. a. anzusehen und ciÄ0 durch die
Gleichung aÄ0 = a zu definieren.3)
Mit Hilfe der i. K. I. können wir die für unsere Untersuchungen
wesentlichen Kettensätze folgendermaßen formulieren:
T) Vgl. E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Annal. 83 (1921)
S. 23 — 67, sowie E. NOETHER, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen
Zahl- und Funktionskörpern, Math. Annal. 96 (1926) S. 36—61. Die zuletzt ge-
nannte Arbeit wird in Zukunft kurz mit ,,N.“ zitiert.
2) Vgl. B. L. VAN DER WAERDEN, Eine Verallgemeinerung des Bezoutschen
Theorems, Math. Annal. 99 (1928) S. 497 —541 (in Zukunft kurz „W.“) §2, sowie
W. Krull, Idealtheorie in Ringbereichen ohne Endlichkeitsbedingung, Math.
Annal. 101 (1929) (in Zukunft kurz „K.“) § 1.
3) Die Festsetzung hat den Wert, daß a stets i. K. I. von sich selbst ist, auch
wenn in 9t kein Einheitselement auf tritt.