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https://doi.org/10.11588/diglit.43575#0012
12
Wolfgang Krull:
1. Vielfachenkettensatz für i. K. I. In einer unendlichen Folge
i1; i2, i3, , deren Glieder sämtlich i. K. I. eines festen Ideals n
sind, und bei der iTO + 1 für jedes n ein Vielfaches von in darstellt,
sind fast alle Glieder (d. h. alle Glieder mit endlich viel Aus-
nahmen) gleich.
2. Allgemeiner Quotientenkettensatz. In einer unendlichen
Folge ax, a2, n3, bei der ciw+1 = an: bw für jedes n einen
Quotienten von a darstellt, sind fast alle Glieder gleich.
3. Quotientenkettensatz für i. K. I. Jedes i. K. I. as von n
kann für 8 J 80 durch ein Element aus 8 erzeugt werden, d. h. es
gibt in 8 stets ein Element s, das der Gleichung ci: (s) = as, genügt.
4. Teilerkettensatz für i. K. I. In einer unendlichen Folge ix,
i2, i3, deren sämtliche Glieder i. K. I. eines festen Ideals a
sind, und bei der iw+1 für jedes n einen Teiler von in darstellt,
sind fast alle Glieder gleich.1)
Der für uns besonders wichtige Satz 3 besitzt im Gegensatz zu 1,
2 und 4 formell nicht die Gestalt eines Kettensatzes. Daß er gleichwohl
den Namen, den wir ihm gegeben haben, nicht zu Unrecht trägt, zeigen
folgende Überlegungen:
a) Der Quotientenkettensatz für i. K. I. ist eine Folge des allgemeinen
Quotientenkettensatzes, wie unmittelbar aus der Tatsache zu er-
sehen, daß das i. K. I. ciÄ (für 8 J 80) offenbar den gr. g. T. (größten
x) Zur Nebeneinanderstellung und Vergleichung der Kettensätze des Textes
wurde ich angeregt durch Gespräche mit F. C. SCHMIDT, der seinerseits den folgen-
den, bisher von ihm noch nicht publizierten Satz bewiesen hat: Das Ideal ci aus
91 besitzt dann und nur dann bloß endlich viele i. K. I., wenn der
Teiler- und der Vielfachenkettensatz für i. K. I. für die aus zu a
gehörigen i. K. I. bestehenden Idealfolgen gilt. Nur mit Rücksicht auf
das Schmidtsche Theorem habe ich den für den Beweis des Hauptsatzes unserer
Note vollkommen überflüssigen Teilerkettensatz für i. K. I. in den Text auf-
genommen. Es sei übrigens noch folgende Tatsache besonders hervorgehoben:
Will man nach dem Vorbild des Textes mit Hilfe der Kettensätze 1 und 3 die Zer-
legbarkeit eines einzelnen, fest gegebenen Ideals u in endlich viel Primärkompo-
nenten beweisen, so braucht man dazu wenigstens den Quotientenkettensatz
für i. K. I. nicht nur für die i. K. I. von u selbst, sondern auch für die i. K. I.
eines bei. echten Teilers von a. Unsere Untersuchungen liefern also — anders als
das Schmidtsche Theorem — keine gleichzeitig notwendigen und hinreichenden
Bedingungen für die Zerlegbarkeit eines einzelnen Ideals. Es ist das ein Mißstand,
der in der Natur der Sache liegen und kaum zu beheben sein dürfte, denn er hängt
aufs engste mit der bekannten Tatsache zusammen, daß ein Ideal er, das überhaupt
als Durchschnitt von endlich viel Primäridealen dargestellt werden kann, i. a.
mehrere solche Darstellungen besitzen wird, von denen keine irgendwie invariant
vor der andern ausgezeichnet ist.
Wolfgang Krull:
1. Vielfachenkettensatz für i. K. I. In einer unendlichen Folge
i1; i2, i3, , deren Glieder sämtlich i. K. I. eines festen Ideals n
sind, und bei der iTO + 1 für jedes n ein Vielfaches von in darstellt,
sind fast alle Glieder (d. h. alle Glieder mit endlich viel Aus-
nahmen) gleich.
2. Allgemeiner Quotientenkettensatz. In einer unendlichen
Folge ax, a2, n3, bei der ciw+1 = an: bw für jedes n einen
Quotienten von a darstellt, sind fast alle Glieder gleich.
3. Quotientenkettensatz für i. K. I. Jedes i. K. I. as von n
kann für 8 J 80 durch ein Element aus 8 erzeugt werden, d. h. es
gibt in 8 stets ein Element s, das der Gleichung ci: (s) = as, genügt.
4. Teilerkettensatz für i. K. I. In einer unendlichen Folge ix,
i2, i3, deren sämtliche Glieder i. K. I. eines festen Ideals a
sind, und bei der iw+1 für jedes n einen Teiler von in darstellt,
sind fast alle Glieder gleich.1)
Der für uns besonders wichtige Satz 3 besitzt im Gegensatz zu 1,
2 und 4 formell nicht die Gestalt eines Kettensatzes. Daß er gleichwohl
den Namen, den wir ihm gegeben haben, nicht zu Unrecht trägt, zeigen
folgende Überlegungen:
a) Der Quotientenkettensatz für i. K. I. ist eine Folge des allgemeinen
Quotientenkettensatzes, wie unmittelbar aus der Tatsache zu er-
sehen, daß das i. K. I. ciÄ (für 8 J 80) offenbar den gr. g. T. (größten
x) Zur Nebeneinanderstellung und Vergleichung der Kettensätze des Textes
wurde ich angeregt durch Gespräche mit F. C. SCHMIDT, der seinerseits den folgen-
den, bisher von ihm noch nicht publizierten Satz bewiesen hat: Das Ideal ci aus
91 besitzt dann und nur dann bloß endlich viele i. K. I., wenn der
Teiler- und der Vielfachenkettensatz für i. K. I. für die aus zu a
gehörigen i. K. I. bestehenden Idealfolgen gilt. Nur mit Rücksicht auf
das Schmidtsche Theorem habe ich den für den Beweis des Hauptsatzes unserer
Note vollkommen überflüssigen Teilerkettensatz für i. K. I. in den Text auf-
genommen. Es sei übrigens noch folgende Tatsache besonders hervorgehoben:
Will man nach dem Vorbild des Textes mit Hilfe der Kettensätze 1 und 3 die Zer-
legbarkeit eines einzelnen, fest gegebenen Ideals u in endlich viel Primärkompo-
nenten beweisen, so braucht man dazu wenigstens den Quotientenkettensatz
für i. K. I. nicht nur für die i. K. I. von u selbst, sondern auch für die i. K. I.
eines bei. echten Teilers von a. Unsere Untersuchungen liefern also — anders als
das Schmidtsche Theorem — keine gleichzeitig notwendigen und hinreichenden
Bedingungen für die Zerlegbarkeit eines einzelnen Ideals. Es ist das ein Mißstand,
der in der Natur der Sache liegen und kaum zu beheben sein dürfte, denn er hängt
aufs engste mit der bekannten Tatsache zusammen, daß ein Ideal er, das überhaupt
als Durchschnitt von endlich viel Primäridealen dargestellt werden kann, i. a.
mehrere solche Darstellungen besitzen wird, von denen keine irgendwie invariant
vor der andern ausgezeichnet ist.