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https://doi.org/10.11588/diglit.43575#0016
16 Wolfgang Krull: Über einen Hauptsatz der allgemeinen Idealtheorie.
In der Tat, gelten die beiden genannten Kettensätze, so gilt, wie
oben bereits hervorgehoben, auch der Quotientenkettensatz für i. K. I.
und damit der Doppelkettensatz, es läßt sich daher in 9t jedenfalls
ein bei. Ideal a stets als Durchschnitt von endlich viel Primäridealen
darstellen.- Mit Hilfe des allgemeinen Quotientenkettensatzes zeigt man
ferner leicht, daß in 9t jedes Primärideal einen endlichen Exponenten
besitzen muß. Die angegebenen Bedingungen sind also sicher hinreichend.
Um auch ihre Notwendigkeit, d. h. um die Notwendigkeit des all-
gemeinen Quotientenkettensatzes, auf den es allein ankommt, zu zeigen,
stellen wir folgende Betrachtung an: Es sei a= qx^q2^ wobei
q< ein zum Primideal gehöriges Primärideal vom endlichen Exponenten
ri bedeutet, = a : 'b sei ein bei. Quotient von a. Dann besteht die
Gleichung n1= (qx : b)^(q2 •’ b)^ <>(qM ■ b) und es ist q2- : b entweder
gleich 91 oder gleich einem zu pi gehörigen Primärideal vom endlichen
Exponenten dabei gilt in der Ungleichung si<ri das Gleichheits¬
zeichen nur dann, wenn b durch p; unteilbar, also qi : b = q,- ist. Eine
mit a beginnende Quotientenkette kann also höchstens + r2 +
+ rn + 1 verschiedene Glieder besitzen.
Durch die angegebenen Überlegungen ist die Notwendigkeit des all-
gemeinen Quotientenkettensatzes für die Darstellbarkeit jedes Ideals
durch endlich viel Primärideale von endlichem Exponenten bewiesen.
Man könnte noch die Frage aufwerfen, ob nicht etwa der Vielfachen-
kettensatz für i. K. I. eine Folge des allgemeinen Quotientenkettensatzes
ist, so daß man ihn bei der Formulierung unseres Ergänzungstheorems
gar nicht mit anzuführen brauchte. Ich halte eine derartige Möglichkeit
nicht für ausgeschlossen, doch bin ich in dieser Hinsicht zu keinem
endgültigen Ergebnis gekommen.
Dagegen kann man, wie ich zum Schluß noch hervorheben möchte,
durch Beispiele zeigen, daß weder der Vielfachenkettensatz für i. K. I.
aus dem Quotientenkettensatz für i. K. I. noch auch umgekehrt der
Quotientenkettensatz für i. K. I. aus dem Teiler- und dem A ielfachen-
kettensatz für i. K. I. zusammengenommen abgeleitet werden kann.
Die betr. Beispiele sind nicht ganz einfach, aber dafür in mehr als einer
Hinsicht interessant. Ich beabsichtige, sie in größerem Zusammenhang
gelegentlich ausführlich darzustellen.
In der Tat, gelten die beiden genannten Kettensätze, so gilt, wie
oben bereits hervorgehoben, auch der Quotientenkettensatz für i. K. I.
und damit der Doppelkettensatz, es läßt sich daher in 9t jedenfalls
ein bei. Ideal a stets als Durchschnitt von endlich viel Primäridealen
darstellen.- Mit Hilfe des allgemeinen Quotientenkettensatzes zeigt man
ferner leicht, daß in 9t jedes Primärideal einen endlichen Exponenten
besitzen muß. Die angegebenen Bedingungen sind also sicher hinreichend.
Um auch ihre Notwendigkeit, d. h. um die Notwendigkeit des all-
gemeinen Quotientenkettensatzes, auf den es allein ankommt, zu zeigen,
stellen wir folgende Betrachtung an: Es sei a= qx^q2^ wobei
q< ein zum Primideal gehöriges Primärideal vom endlichen Exponenten
ri bedeutet, = a : 'b sei ein bei. Quotient von a. Dann besteht die
Gleichung n1= (qx : b)^(q2 •’ b)^ <>(qM ■ b) und es ist q2- : b entweder
gleich 91 oder gleich einem zu pi gehörigen Primärideal vom endlichen
Exponenten dabei gilt in der Ungleichung si<ri das Gleichheits¬
zeichen nur dann, wenn b durch p; unteilbar, also qi : b = q,- ist. Eine
mit a beginnende Quotientenkette kann also höchstens + r2 +
+ rn + 1 verschiedene Glieder besitzen.
Durch die angegebenen Überlegungen ist die Notwendigkeit des all-
gemeinen Quotientenkettensatzes für die Darstellbarkeit jedes Ideals
durch endlich viel Primärideale von endlichem Exponenten bewiesen.
Man könnte noch die Frage aufwerfen, ob nicht etwa der Vielfachen-
kettensatz für i. K. I. eine Folge des allgemeinen Quotientenkettensatzes
ist, so daß man ihn bei der Formulierung unseres Ergänzungstheorems
gar nicht mit anzuführen brauchte. Ich halte eine derartige Möglichkeit
nicht für ausgeschlossen, doch bin ich in dieser Hinsicht zu keinem
endgültigen Ergebnis gekommen.
Dagegen kann man, wie ich zum Schluß noch hervorheben möchte,
durch Beispiele zeigen, daß weder der Vielfachenkettensatz für i. K. I.
aus dem Quotientenkettensatz für i. K. I. noch auch umgekehrt der
Quotientenkettensatz für i. K. I. aus dem Teiler- und dem A ielfachen-
kettensatz für i. K. I. zusammengenommen abgeleitet werden kann.
Die betr. Beispiele sind nicht ganz einfach, aber dafür in mehr als einer
Hinsicht interessant. Ich beabsichtige, sie in größerem Zusammenhang
gelegentlich ausführlich darzustellen.