Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Max Müller:

zahl von Punkten und Strecken gemein, so läßt sich diejenige Funktion
die auf Df verschwindet, in SB + Df stetig ist und in SB stetige
partielle Ableitungen der ersten und zweiten Ordnung besitzt, sowie
der Differentialgleichung
A u (x, y) = —2
genügt, darstellen in der Form
w (£??) = ff ^yjdxdyX)
Ein Vergleich mit der Formel (1) lehrt, daß J^,y) in jedem Punkt
(£, y) von SB mit w (£, y) übereinstimmt; da aber Gr(x,y; ^,y) und damit
auch J(£,y) verschwindet, wenn der Punkt (£,??) auf Df liegt* 2), so ist
J(£,y) im ganzen Bereich SB + Df mit u($, y) identisch.
Die Funktion J\x,y) läßt sich also charakterisieren als diejenige
Lösung der Differentialgleichung
(3) A J (x, y) — —2 7i,
die auf dem Rand Df verschwindet; sie ist in SB überall positiv und
strebt stetig gegen Null, wenn der Punkt (x,y) sich unbegrenzt dem Rand
nähert. Wir können sie gewinnen, indem wir zu der Funktion
y(^,y}= -^O2+?/2),
die der Differentialgleichung
A Uy (x,y) = — 2ti
genügt, diejenige in SB reguläre Potentialfunktion u2(x,y') hinzufügen,
die auf Df die Werte —(&,?/) annimmt. Dies gibt zugleich die Mög-
lichkeit, zur genaueren Untersuchung der Funktion J\x,y'), insbesondere
über die Art ihrer Annäherung an Null bei unbegrenzt gegen Df wandern-
dem Punkt (x, y), bekannte Sätze der Potentialtheorie 3) heranzuziehen;
doch wollen wir darauf in dieser Arbeit nicht näher eingehen.
2. Auf Grund der Bemerkung, daß sie eine Lösung der Differential-
gleichung (3) ist, läßt sich die Funktion J(x, y) für den Kreis
x2-\-y2 AL R2
1) Vgl. etwa L. Bieberbach, Theorie der Differentialgleichungen. Berlin
(J. Springer) 1923, S. 289 — 298.
2) Vgl. etwa W. Sternberg, Potentialtheorie, Bd. II. Berlin und Leipzig
(W. de Gruyter & Co.) 1926, S. 53.
3) Vgl. deren Zusammenstellung bei L. Lichtenstein, Neuere Entwicklung
der Potentialtheorie. Konforme Abbildung. Encyklopädie der mathem. Wiss.
II, 3,1, S. 243.